最大流
1.FF算法
最大流的Ford–Fulkerson 算法基本思想就是增广,直到没有路可以增广为止。
(就是寻找从s到t的整条增广路径,然后增广的一个过程)
如果找不到增广路径,此时的流量就是最大流。
增广路径:定义一条从S至T的道路P。其中一条路径<i,j>
若fij = Cij,称<vi, vj>为饱和弧;否则称<vi, vj>为非饱和弧。
若fij = 0,称<vi, vj>为零流弧;否则称<vi, vj>为非零流弧。
把P 上所有与P 方向一致的弧定义为正向弧,正向弧的全体记为P+;
把P 上所有与P 方向相悖的弧定义为反向弧,反向弧的全体记为P-。
如果满足: fij 是非饱和流,并且<i,j>∈ P+ 或fij 是非零流,并且<i,j>∈ P-
那么就称P 是f 的一条增广路径。
找到增广路径后,就开始增广。找增广路径的同时计算θ。
接着,重新进入寻找增广路径的过程。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<vector> #include<cstring> using namespace std; struct edge{ int to,rl,ll,fxb; }; int n;const int INF=1000000000; int x=1; vector<edge> g[8101]; bool used[8101];int ans=0; int a[100001],b[100001]; int _used[100001],_to[100001],h[4001][4001]; int dfs(int u,int t,int f) { if(u==t)return f; used[u]=1; for(int i=0;i<g[u].size();i++) { edge &e=g[u][i]; if(!used[e.to]&&e.rl>e.ll) { f=min(f,e.rl-e.ll); int d=dfs(e.to,t,f); if(d>0) { e.ll+=d; g[e.to][e.fxb].ll-=d; return d; } } } return 0; } int flow(int s,int t) { int ff=0; for(;;) { memset(used,0,sizeof(used)); int dd=dfs(s,t,INF); if(dd==0)return ff; ff+=dd; } }
分层图,以从源点到某点的最短距离分层的图,距离相等的为一层
1.根据残量网络计算分层图(BFS)。
2.在分层图中使用DFS进行增广直到不存在增广路。
3.重复以上步骤直到无法增广。
当前弧优化+多路增广
#include<iostream> #include<cstdio> #include<queue> #include<cstring> using namespace std; const int INF=1999999999; int r,c,d; int n,m;//点,边 struct data { int next,to,cap; } g[200000]; int iter[1000],h[1000],level[1000],k=1,head,tail,q[1000]; void add(int from,int to,int cap) { g[++k].next=h[from]; h[from]=k; g[k].to=to; g[k].cap=cap; g[++k].next=h[to]; h[to]=k; g[k].to=from; g[k].cap=0; } void bfs(int s) { memset(level,0,sizeof(level)); head=tail=0; q[tail++]=s; level[s]=1; while(head!=tail) { int u=q[head++]; for(int i=h[u]; i; i=g[i].next) { if(!level[g[i].to]&&g[i].cap) { level[g[i].to]=level[u]+1; q[tail++]=g[i].to; } } } } int dfs(int u,int t,int f) { if(u==t)return f; int used=0,w; for(int &i=iter[u]; i; i=g[i].next) { if(g[i].cap&&level[g[i].to]==level[u]+1) { w=f-used; w=dfs(g[i].to,t,min(w,g[i].cap)); if(w) { g[i].cap-=w; g[i^1].cap+=w; used+=w; if(used==f)return f; } } } return used; } int dinic(int s,int t) { int flow=0; for(;;) { for(int i=1; i<=n; i++)iter[i]=h[i]; bfs(s); if(!level[t])return flow; flow+=dfs(s,t,INF); } }
匹配:在图论中,匹配是一个边的集合,其中任意两条边都没有公共顶点。
最大匹配:一个图所有匹配中,所含匹配边数最多的匹配,称为这个图的最大匹配。
完美匹配:如果一个图的某个匹配中,所有的顶点都是匹配点,那么它就是一个完美匹配。
二分图最大匹配=最小点覆盖集=N-最大独立点集
覆盖集:对于每条边,至少选一个端点。
独立集:对于每条边,至多选一个端点。
二分图最大匹配=N-最小路径覆盖
最小路径覆盖:每个节点恰好仅被覆盖一次。
最小链覆盖=最长反链
最小链覆盖:给定N个点的有向无环图,求路径数最少的覆盖,使得每个节点至少被覆盖一次。
用最小路径覆盖求最小链覆盖:从每个点到它能连通的点都连边,这样就转化为最小路径覆盖啦!
反链:对于有向图上不能连通的点建边形成反图,反图上的链叫做反链。