随机算法与卡时

卡时

首先膜拜吴爷在模拟赛中用卡时取得了暴打我的成绩。

卡时是防 TLE 的美妙方法，具体代码就一行，核心思想就是只要不超时就一直跑，跑出啥算啥，结合后面的随机算法可以加大乱搞出正解的概率。

代码：

#include<ctime>
while((double)clock()/CLOCKS_PER_SEC<MAXTIME)solve();

2024/06/01 我在儿童节模拟赛中运用卡时+乱搞的方法切掉了 A 题，这反映了卡时算法在脚造数据中之好使。

爬山算法

爬山算法是一种局部择优的方法，采用启发式方法，是对深度优先搜索的一种改进，它利用反馈信息帮助生成解的决策。

直白地讲，就是当目前无法直接到达最优解，但是可以判断两个解哪个更优的时候，根据一些反馈信息生成一个新的可能解。

因此，爬山算法每次在当前找到的最优方案 \(x\) 附近寻找一个新方案。如果这个新的解 \(x'\) 更优，那么转移到 \(x'\) ，否则不变。

这种算法对于单峰函数显然可行。那多峰怎么办？

法一：我搞好几个瞎子，每个跑一遍，就行了。这种方法升升级就叫遗传算法，但我暂时学不会，学会了再来补充（大概是不会补了，但大抵会另写一篇）。

法二：

模拟退火

“退火”是一种金属热处理工艺，指的是将金属缓慢加热到一定温度，保持足够时间，然后以适宜速度冷却。（来自百度百科）模拟退火就是模拟了这个过程。

用一句话来说，模拟退火的灵魂就是随一个新状态，如果新状态好，毫不犹豫跳过去，这里先不管他；否则的话有一定概率（记作 \(p\)）跳过去（这也是对爬山算法的升级，避免在一座小山上走死的困境），越是靠近开始，概率越大，越是将近结束，概率越小。这一点的灵感同样来自打铁。打铁的时候先要把铁块烧到一个极高的温度，然后不断冷却，在冷却的过程中敲打铁块，让铁块成型，我们知道，时间越早，铁块越容易变形；时间越晚，铁块越不容易变形，我们尽量在前半段成型，后半段修修补补就行，模拟退火也是这样。

接下来讨论如何通过控制 \(p\) 来实现我们上面说的过程。我们模拟退火的温度，设温度是 \(T\)。不妨设能量高，答案优。设新状态与旧状态能量之差为 \(\Delta E\)，若 \(\Delta E >0\),无脑跳；否则，跳过去的概率 \(p=e^{\frac{\Delta E}{T}}\)。为了结果更精确，我们维护的不是最终值，而是过程中的最小值。如果 \(p\) 小于 \(0\) d到 \(1\) 之间随的一个数，就让这个点跳过去。

为什么是 \(e^x\) 这样的东西？我们可以动用科技手段画出函数 \(f(x)=e^x\) 的图像，可以观察到 \(f(x)\) 在值域内单调递增，\(f(0)=1\)，且对于任意的 \(x\) ，\(f(x)>0\)，因此当 \(\Delta E <0\) 时， \(f(\frac{\Delta E}{T}) \in (0,1]\)。显然，这个东西还是越小越好，所以是小于某个数。

例题

平面内撒几个点，求最小的圆能正好包住这些点。

sol：我们明确，在知道圆心的条件下，可以求出圆的半径，因此我们只需要对圆心模拟退火，每次让圆心向随机的方向走随机的长度，判断走不走。代码就不放了，你往下看看就有类似的。

升级版：平面内扔几条线段，求最小的原与这些线段都有交点（这里原是指圆内所有点与圆上所有点构成的集合，没打错）。这个有Luogu link和AtCoder link。

用向量法（或者解析式法，但精度是个问题，会挂）求出距离，就可以转化成上面的典了。

代码：

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<cmath>
using namespace std;
int n;
double ans,ansx,ansy;
struct point{
	double x,y;
	inline void read(){scanf("%lf%lf",&x,&y);}
	inline double len(){return sqrt(x*x+y*y);}
}a[105],b[105];
point operator -(point a,point b){return {a.x-b.x,a.y-b.y};}
point operator +(point a,point b){return {a.x+b.x,a.y+b.y};}
inline double dot(point a,point b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}
inline double cross(point a,point b){return a.x*b.y-b.x*a.y;}
inline double Rand(){return (double)rand()/RAND_MAX;}
inline double dis(point p,point a,point b)
{
	point ab=b-a,ap=p-a,bp=p-b;
	if(dot(ab,ap)<0)return ap.len();
	else if(dot(ab,bp)>0)return bp.len();
	else return fabs(cross(ab,ap)/ab.len());
}
inline double calc(double x,double y)
{
	double res=-1e18;
	for(int i=1;i<=n;i++)res=max(res,dis({x,y},a[i],b[i]));
	if(res<ans)ans=res,ansx=x,ansy=y;
	return res;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i].read(),b[i].read();
		ansx+=(a[i].x+b[i].x)/2;
		ansy+=(a[i].y+b[i].y)/2;
	}
	ansx/=n,ansy/=n;
	ans=calc(ansx,ansy);
	while((double)clock()/CLOCKS_PER_SEC<=1.95)//MAX_TIME不要卡的太满
	{
		double T=1e3,nx=ansx,ny=ansy;
		//nx,ny的作用是让下一次从当前最优开始跑
		while(T>1e-7)
		{
			double x=nx+T*(Rand()*2-1);
			double y=ny+T*(Rand()*2-1);
			if(exp((calc(nx,ny)-calc(x,y))/T)>Rand())nx=x,ny=y;
			T*=0.996;
		}
	}
	cout<<fixed<<setprecision(30)<<ans<<"\n";
	return 0;
}

最后，只要你注意力足够好，你还可以用模拟退火 A 掉 这个题 ；即使你注意力不好，你也可以获得 72 分的好成绩（不如总司令）。