混凝土

记号约定

• \(\ln x\)：自然对数 \(\log_ex\)
• \(\lg x\)：以十为底的对数 \(\log_{10} x\)
• \(\log x\)：以二为底的对数 \(\log_{2}x\)
• \(\lfloor x\rfloor\)：\(\max\{n \in \mathbb Z|n\leq x\}\)
• \(\lceil x\rceil\)：\(\min\{n\in \mathbb Z|n \geq x\}\)
• \(x\mod y\)：\(x-y\lfloor\frac{x}{y}\rfloor\)
• \(\{x\}\)：\(x \mod 1\)
• \(\sum f(x) \delta x\)：无限和式
• \(\sum_{a}^b f(x) \delta x\)：有限和式
• \(a \perp b\)：\(\gcd(a,b)=1\)
• \([P]\)：当 \(P\) 为真时值为 \(1\)，否则值为 \(0\)

第一章 递归问题

1. 汉诺塔问题

三个柱, 第一个柱上有 \(n\) 个圆盘, 圆盘大小从上到下递增, 每次只能移动一个圆盘, 每根柱子上圆盘大小应时刻满足从上到下递增,求最小方案数.

命名并求解. 设 \(T(n)\): 圆盘数为 \(n\) 的最小步骤. 问题相当于将 \(n-1\) 个圆盘挪到中间的柱上, 再将第 \(n\) 块圆盘扔到第 \(n\) 个柱上, 然后把这 \(n\) 个挪到最后的柱子上. 可得出递推式: \(T(n)=T(n-1)+1+T(n-1)=2T(n-1)+1\). 可以求出 \(T(n)=2^n-1\).

2. 直线割平面问题.

平面上 \(n\) 条直线最多能将平面分成几部分.

每新增一条直线最多产生 \(n-1\) 个交点, 分出 \(n\) 个平面, 故 \(f(n)=f(n-1)+n\), 则 \(f(n)=\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}\).

3. 约瑟夫问题.

这个题目的历史背景可参考百度百科, 这里把问题改得简单一点. 几个人围成一圈, 每隔一个人杀一个人, 求最后幸存者的编号.

设 \(J(n)\) 表示总人数为 \(n\) 最后活下来的编号. 如果 \(n\) 是偶数, 那么除了人数仅剩一半和编号不同之外前后的情景是一致的. 假设一开始有 \(2n\) 个人, 经过第一轮会剩下 \(1, 3, \dots ,2n-1\), 一个人对应的号码应该加倍然后减一, 也就是说 \(J(2n)=2J(n)-1\), 对于奇数的情形, 活下来的人是 \(1, 3, \dots , 2n+1\), 这一次他们的号码加倍并增加了一,故 \(J(2n+1)=2J(n)+1\). 于是我们得到递推式:

\[J(n)=\left\{ \begin{aligned} 1 && n=1 \\ 2J(\frac{n}{2})-1 && n=2k,k\in \mathbb Z \\ 2J(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor)+1 && n=2k+1,k\in \mathbb Z \end{aligned} \right. \]

目前对于求出 \(J(n)\) 我们还没有什么头绪, 于是我们先打个表.

如图, 我们注意到 \(J(2^m+l)=2l+1\), 尝试证明这个结论. 我们对 \(m\) 使用数学归纳法. 当 \(m=0\) 时, \(J(1)=1\) 显然成立. 我们上面求递推式的过程启发我们对 \(l\) 分奇偶讨论. 当 \(l\) 为偶数, \(J(2^m+l)=2J(2^{m-1}+\frac{l}{2})-1=2\times( \frac{l}{2}+1)-1=2l-1\), 结论成立; 当 \(l\) 为奇数时类似的可以证明.

解决了问题后再发散思维联想联想, 发现我们的证明过程中离不开 2 的次幂, 考虑研究这之间的关系. 设 \(n=(b_mb_{m-1}b_{m-2}\dots b_{2}b_1b_0)_2\), 注意到 \(J(n)=(b_{m-1}b_{m-2}\dots b_2b_2b_0b_m)\), 也就是说 \(J(n)\) 把 \(n\) 向左循环移动了一位.

现在我们对 \(J(n)\) 已经有了一个透彻的认识，接下来考虑推广。我们试着求形如

\[f(n)=\left\{ \begin{aligned} 1 && n=\alpha \\ 2f(\frac{n}{2})+\beta && n=2k,k\in \mathbb Z \\ 2f(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor)+\gamma && n=2k+1,k\in \mathbb Z \end{aligned} \right. \]

的递推式的封闭形式。打个表注意到 \(\alpha,\beta,\gamma\) 的系数存在一定规律，于是我们就能把 \(f(n)\) 对 \(\alpha,\beta,\gamma\) 的依存关系分开，表示为：

\[f(n)=A(n)\alpha+B(n)\beta+C(n)\gamma \]

注意到 \(A(n)=2^m，B(n)=2^m-1-l，C(n)=l\)，数学归纳法可证。

书中告诉我们，对付感性上“线性的”递推式，先带个特值算会非常爽。这种求递推式封闭形式的方法被称作成套方法。

练习题：

8

解递归式：

\[Q_0=\alpha,Q_1=\beta \]

\[Q_n=(1+Q_{n-1})/Q_{n-2} \]

sol

$$Q_2=\frac{1+\beta}{\alpha}$$

\[Q_3=\frac{\alpha+\beta+1}{\alpha\beta} \]

\[Q_4=\frac{\alpha+1}{\beta} \]

\[Q_5=\alpha,Q_6=\beta \]

于是这是个周期函数。

24

求所有形如

\[X_n=\frac{1+a_1X_{n-1}+a_2X_{n-2}+\dots+a_kX_{n-k}}{b_1X_{n-1}+b_2X_{n-2}+\dots+b_kX_{n-k}} \]

的递归关系，使无论 \(X_0,X_1,\dots,X_{k-1}\) 如何，它的解都是周期的。

sol

前面的第八题就是个满足条件的式子。本书还给了 $X_n=2i\sin \pi r+1/X_{n-1}$ 这一递推式。

第二章 和式

2.1 和式与递归式

和式和递归式可以转化。和式

\[S_n=\sum_{i=1}^n a_i \]

等价于递归式

\[S_n=S_{n-1}+a_n \]

也就是说，用第一章中求解封闭递归式的方式，我们就可以用封闭形式计算和式的值。反过来，递归式也可以通过转化为和式来求解。例如汉诺塔的递归式：

\[T_0=0 \\ \\ T_n=2T_{n-1}+1 \]

注意到，如果我们令 \(S_n=T_n/2^n\)，我们就有：

\[S_0=0 \\ \\ S_n=S_{n-1}+2^{-n} \]

由此得到 \(S_n=\sum_{k=1}^n 2^{-k}\)，进而可求出 \(T_n\)。

那我们是怎么注意到的呢？实际上对于任何形如

\[a_nT_n=b_nT_{n-1}+c_n \]

的递归式我们都可以用求和因子的思想把它转化成和式形式。具体地，我们让求和因子 \(s_n\) 乘在等式两边：

\[s_na_nT_n=s_nb_nT_{n-1}+c_ns_n \]

我们需要选取 \(s_n\) 使 \(s_nb_n=s_{n-1}a_{n-1}\)，这样设 \(S_n=s_na_nT_n\)，则

\[S_n=S_{n-1}+c_ns_n \]

于是

\[S_n=s_0a_0T_0+\sum_{i=1}^ns_ic_i\\T_n=\frac{1}{s_na_n}(s_1b_1T_0+\sum_{k=1}^ns_kc_k) \]

我们可以容易地求出来 \(s_n=\frac{\prod_{k=1}^{n-1} a_k}{\prod_{k=2}^n b_k}\)。于是傻子都可以注意到了。但我们必须注意分母时刻不能为0。

2.2 和式的处理

和式的处理在于简化或接近目标。

2.2.1 和式运算律

分配率：\(\sum\limits_{k\in K}ca_k=c\sum\limits_{k\in K}a_k\)

结合律：\(\sum\limits_{k\in K}(a_k+b_k)=\sum\limits_{k\in K}a_k+\sum\limits_{k \in K}b_k\)

交换律：\(\sum\limits_{k\in K}a_k=\sum\limits_{p(k)\in K}a_{p(k)}\)

小高斯算一到一百的和的过程相当于利用了和式的交换律。

2.2.2 扰动法

就是在求解和式的时候把单独一项从和式中分出去，重新改写式子然后运算。其思想从未知的和式 \(S_n=\sum_{0 \leq k \leq n}a_k\) 开始。然后通过他的最后一项和第一项分离出来，用两种方法改写 \(S_{n+1}\)：

\[S_n+a_{n+1}=\sum_{0 \leq k \leq n+1}a_k=a_0+\sum_{1 \leq k \leq n+1}a_k =a_0+\sum_{1 \leq k+1 \leq n+1}a_{k+1} =a_0+\sum_{0 \leq k \leq n} a_{k+1} \]

然后我们尝试用 \(S_n\) 表示最后那个和式，然后就得到方程，解就完了。

例：求一般的几何级数的和：

\[S_n=\sum_{0\leq k \leq n}ax_k \]

用一般的扰动法格式，得

\[S_n+ax^{n+1}=ax^0+\sum_{0\leq k\leq n}ax^{k+1} \]

由分配率得 \(RHS=ax^0+xS_n\)，于是 \(S_n+ax^{n+1}=a+xS_n\)，得到我们早就熟记的公式：

\[S_n=\frac{a-ax^{n+1}}{1-x} \]

2.3 多重和式

2.3.1 交换求和次序

是我们之前见过的结合律的推广。

\[\sum_j \sum_k a_{j,k}[P(j,k)]=\sum_{P(j,k)}a_{j,k}=\sum_k \sum_j a_{j,k}[P(j,k)] \]

这个基本法则有两个变形：简易型（vanilla）和复杂型（rocky road）。

vanilla：\(\sum\limits_{j\in J}\sum\limits_{k \in K}a_{j,k}=\sum\limits_{j\in J , k \in K}a_{j,k}=\sum\limits_{k \in K}\sum\limits_{j \in J}a_{j,k}\)

rocky road 适用于内和的范围与外和的下标有关的情形:

\[\sum_{j \in J}\sum_{k \in K(j)}a_{j,k}=\sum_{k \in K'}\sum_{j \in J'(k)}a_{j,k} \]

其中 \(J,K(j),K',J'(k)\) 必须以以下的方式关联：

\[[j \in J][k \in K(j)]=[k \in K'][j \in J'(k)] \]

2.3.2 Chebyshev's monotonic inequality

\[(\sum_{k=1}^n a_k)(\sum_{k=1}^n b_k)\leq n\sum_{k=1}^na_kb_k,a_1\leq \dots \leq a_n,b_1 \leq \dots\leq b_n \\ (\sum_{k=1}^n a_k)(\sum_{k=1}^n b_k)\geq n\sum_{k=1}^na_kb_k,a_1\leq \dots\leq a_n,b_1\leq \dots\leq b_n \]

这是个特例。

2.4 一般性的方法

例子：求 \(\square_n=\sum_{k=0}^n k^2\)。

法 0：查表

法 1：对和式用扰动法

\[\square_n + (n+1)^2 = \sum_{k=0}^{n}(k+1)^2 = \sum_{k=0}^n(k^2+2k+1) \\=\sum_{k=0}^n k^2 + 2\sum_{k=0}^n k +n \\=\square_n+2\sum_{k=0}^n k+n \]

丸辣，\(\square_n\) 被抵消了！但我们发现这样可以推出 \(\sum_{k=0}^n k\)！

于是我们考虑通过扰动 \(\sum_{k=0}^n k^3\) 来求 \(\square_n\)