动态规划--双调欧几里得旅行商问题
发现自己实在是太弱了，这个算法理解的太慢了...
具体的解法参照别人的解题思路，我自己动手重新编了代码，加深自己的学习印象。
双调欧几里得旅行商问题
欧几里得旅行商问题是对平面上给定的n个点确定一条连接各点的最短闭合旅程的问题。如图（a）给出了一个7个点问题的解。这个问题的一般形式是NP完全的，故其解需要多于多项式的时间。
J.L. Bentley 建议通过只考虑双调旅程(bitonic tour)来简化问题,这种旅程即为从最左点开始，严格地从左到右直至最右点，然后严格地从右到左直至出发点。下图(b)显示了同样的7个点的最短双调路线。在这种情况下，多项式的算法是可能的。事实上，存在确定的最优双调路线的O(n*n)时间的算法。
注:在一个单位栅格上显示的平面上的七个点。 a)最短闭合路线,长度大约是24.89。这个路线不是双调的。b)相同点的集合上的最短双调闭合路线。长度大约是25.58。
解：
算法的基本思想：
首先将给出的点排序，关键字x，重新编号，从左至右1，2，3，…，n。
定义p[i][j]，表示结点i到结点j之间的距离。（图b）
定义d[i][j]，表示从i连到1，再从1连到j，（注意，i>j，且并没有相连。）（图a）
对于任意一个点i来说，有两种连接方法，一种是如图（a）所示，i与i-1相连，另一种呢是如图（b），i与i-1不相连。
根据双调旅程，我们知道结点n一定与n相连，那么，如果我们求的d[n][n-1]，只需将其加上p[n-1][n]就是最短双调闭合路线。
根据上图，很容易写出方程式：
d[i][j]=d[i-1][j]+p[i][i-1];
d[i][i-1]=min(d[i-1][j]+p[j][i]);
算法的代码：
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<stdio.h>
using namespace std;
const int maxn=101;
struct{
int x,y;
}a[maxn];
double d[maxn][maxn],p[maxn][maxn];
int n;
double min(double x,double y)
{
if(x>y)
return y;
else
return x;
}
void init()
{
int i;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
{//输入我们要游经的点的坐标
scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
printf("a[%d].x=%d,a[%d].y=%d\n",i,a[i].x,i,a[i].y);
}
}
void qsort(int l,int r)
{//这里是快速排序，将所有的输入点按照X坐标排序
int i=l,j=r,mid=a[(i+j)>>1].x;
while(i<j)
{
while(a[i].x<mid)i++;
while(mid<a[j].x)j--;
if(i<=j)
{
swap(a[i].x,a[j].x);
swap(a[i].y,a[j].y);
i++;j--;
}
}
for(int m=1;m<=r;m++)
{
printf("a[%d].x=%d,a[%d].y=%d\n",m,a[m].x,m,a[m].y);
}
if(l<j)
qsort(l,j);
if(i<r)
qsort(i,r);
}
double cnt(int x1,int y1,int x2,int y2)
{//具体计算两个点之间距离的算法
int x=(x1-x2)*(x1-x2);
int y=(y1-y2)*(y1-y2);
return sqrt(x+y);
}
void work_p()
{//将所有的两两点之间的距离计算出来,因为此处是对称矩阵所以只需要计算一半
int i,j;
for(i=1;i<n;i++)
for(j=i+1;j<=n;j++)
{
p[i][j]=p[j][i]=cnt(a[i].x,a[i].y,a[j].x,a[j].y);
}
}
void DP()
{ //这里是动态规划思想的主要体现部分
int i,j;
d[1][1]=0;
for (i=2;i<=n;i++)
d[i][1]=p[i][1];
//
for (i=2;i<n;i++)
{
d[i+1][i]=INT_MAX;
for (j=1;j<=i-1;j++)
{
d[i+1][j]=d[i][j]+p[i][i+1];//不是相邻点的时候计算比较简单，（j,i+1处于两条边上）
d[i+1][i]=min(d[i+1][i],d[i][j]+p[j][i+1]); //是相邻点的时候就要计算最小值出来（从哪里断开，能够使得i到i+1的距离最小）
}
}
}
int main()
{
freopen("data.in","r",stdin);
freopen("data.out","w",stdout);
init();
qsort(1,n);
work_p();
DP();
printf("result is %.2lf\n",d[n][n-1]+p[n][n-1]);
fclose(stdin);
fclose(stdout);
return 0;
}
