从FSM到正则表达式

　　本文以一个有限状态自动机（FSM)为例来介绍3种从有限状态自动机转化为正则表达式的方法。

 

　　有一个FSM能接受能被3整除的二进制串（如字符串0，其十进制为0（考虑其到初始状态，认为读到0，亦为可接受状态）；字符串11，其十进制为3；字符串110，其十进制为6；......这些都可接受）。这个有限自动机的图形表示如图1所示：

 

下面讲叙将图1所表示的FSM转化为正则表达式。

第一种方法，从实质出发：

其实质为：从A状态出发经过若干次（包括0次）转移（途径），最终恰好回到状态A。所谓求正则表达式，即对这些转移（途径）进行归纳。

从总体考虑比较复杂，所以可以考虑动态规划的思想。

这是一种很基础的方法，即从其定义实质出发，也是一种麻烦的方法，在这里不准备讲解。对于这种方法，在《自动机理论、语言和计算导论》一书上有较为详细的讨论。

 

第二种方法，消结消弧法：

所谓结即为状态，弧即为输入字符（或者转移途径）。

注意图2中红色标记的弧，将会被消除。如何消除？将其等效替换掉。红色标记弧表示A状态接受字符1将转移到状态B，我们继续考虑当接受下一个字符时将转移到的状态：当接受0时，转到B；当接受1时，转到A。所以我们可以如下等效替换如图3：

同理再将图3中的红色标记的弧消除，得到如图4所示：

由于图4中的状态B无论如何也不能通过转移达到，所以状态B可以省略，即消除结点。则得图5：

说明：状态A读到ε，依旧为接受态，认为ε为可接受字符串。从图5中可以轻易得出集合{ε，0,11,10(1,00)*01}*为可接受状态集合。可将形式改写为{ε|0|11|10(1|00)*01}*这个式子看起来比较繁杂，还可以略作等价改写。

 

 

第三种方法：转化为正则表达式方程组求解:

要用到的定理：设α，β为已知正则表达式，x是未知正则表达式，那么x=α*β是正则表达式方程

x=αx+β                          <1>

的一个解，当ε∉L（α）时，x=α*β是表达式方程<1>的唯一解。

 先不考虑ε，如图1所示写出对应的正则文法：

A->0A|1B|0

B->1A|0C|1

C->1C|0B

这样就可得到对应的正则表达式方程组：

A=0A+1B+0       ①

B=1A+0C+1       ②

C=1C+0B     ③

对③用定理得C=1*0B，将其代入②，再用定理得B=（01*0）*(1A+1),又将其带入 ①，并用定理得

（0+1（01*0）*1）*（0+1（01*0）*1）,考虑到ε，将式子整理

可得结果为（0+1（01*0）*1）*，与方法二的结果其实是一样的。