P4248 [AHOI2013]差异 题解
题解
\(\texttt{SAM}\) 做法，但此题并不是 \(\texttt{SAM}\) 模板题。
个人感觉洛谷上其他 \(\texttt{SAM}\) 的题解似乎都没有讲明白，或者是思考过程是错的（也可能是我理解错了）。
主要有以下几点问题（这里并没有讲清楚，会在接下来的题解中重新叙述一遍）：
- \(\texttt{Parent}\) 树上的节点深度并不是其串的长度。
- 我们统计的并不是任意两个节点之间的距离，而是 \(\texttt{Parent}\) 树上所有不是克隆节点之间的带权路径长度
- 对 \(\texttt{SAM}\) 的统计过程并不是直接对所有点对的统计，而是一种类似于边差分的思路。
接下来讲一下自己的理解。
以下不加证明地给出一些引理：
\(Lemma(s)\)
- \(\texttt{SAM}\) 中最长链（终止链）上的所有节点的最长串，是原串的所有前缀
如：\(\texttt{aababa}\) 的最长链上的节点表示的最长串分别是 \(\texttt{a,aa,aba,aaba,aabab,aababa}\)
- \(\texttt{Parent}\) 树上两点的 \(\texttt{LCA}\) 所表示的最长串，是两点分别所表示的字符串的 \(\texttt{LCP}\)
由引理一，我们考虑在 \(\texttt{Parent}\) 树上搞事情。
题目问的是所有后缀，那么建出反串的 后，由引理一可以知道，现在所有最长链上的节点的最长串，是原串的所有后缀，而且结合引理二有：此时 \(\texttt{Parent}\) 树上两点的 \(\texttt{LCA}\) 所表示的最长串，则变为了两点分别所表示的字符串的 \(\texttt{LCP}\)。
那么我们现在在 \(\texttt{Parent}\) 树上进行统计，由于我们统计的是原串的一系列后缀，它们现在分布在 \(\texttt{SAM}\) 上最长链的节点中，那么我们就应该对最长链的节点点对进行统计（这也是答案式子中 sz[u]*(n-sz[u]) 的原因，因为原串的长度（最长链的长度）即为 \(n\) ， 而 sz[u] 表示的是当前节点的子树内原串的节点个数，那么 sz[u]*(n-sz[u]) 就是 \(\texttt{Parent}\) 中经过当前边的出现在最长链上的点对数量）。
考虑进行边差分：将 \(\texttt{Parent}\) 树上以节点 \(u\) 为儿子的边的权值赋为 maxlen[u]-maxlen[fa[u]]（请注意，这篇题解中，这个式子并不是用来表示某个节点的串的个数）。
那么现在对于任意两个终止链上的节点 \(u,v\) ，它们在 \(\texttt{Parent}\) 树上的 \(\texttt{LCA}\) 是 \(w\)，我们统计出所有这样的点对的 maxlen[u]+maxlen[v]-2*maxlen[w] 即为答案。（因为 maxlen[u],maxlen[v] 现在是原串的以两个后缀的长度，maxlen[w]是它们 的长度，这就是题目的式子）
最后将每条边的权值乘上经过其的点对数量即可，也即：
\(\sum\limits_{u \in sam}(maxlen_u-maxlen_{fa_u}) \times size_u \times (n-size_u)\)
为什么呢？
我们考虑将一条以 \(u\) 为底的链统计完的过程，其中计算出来的是 maxlen[u]-maxlen[fa[u]]+maxlen[fa[u]]-maxlen[fa[fa[u]]]+...-maxlen[w]，那么对于 \(u\) 和 \(v\)，它们统计出来的答案便是maxlen[u]+maxlen[v]-2*maxlen[w]
那么这道题就做完了
代码里面的 link 其实就是 fa
