《混凝土数学》第二章 和式 学习笔记

一.记号 \(Notation\)

我们将 \(\sum\limits_{P(k)} a_k\) 记作满足满足性质 \(P(k)\) 的所有 \(a_k\) 之和，其中 \(a_k\) 称为被加数

• 艾弗森约定：\([ P(k) ]= \begin{cases} 0& {P(k)=false}\\ 1& {P(k)=true} \end{cases}\)

这使得我们可以不加限制条件地表示和式.
于是有（和式的不同表示方法）：\(\sum\limits_{i=1}^n{a_i}=\sum\limits_{1 \leq i \leq n}{a_i}=\sum\limits_{i} a_k[1 \leq i \leq n]\)

二.和式与递归式 \(Sums\) \(and\) \(Recurrences\)

（1）和式与递归式的联系

• \(ForExample:\)
  和式 \(\sum\limits_{i=1}^n{a_i}\) 等价于递归式 \(S_0=a_0;\\S_n=S_{n-1}+a_n.\)

(2) 线性递归式的处理方法

我们希望把任意形如 \(a_nT_n=b_nT_{n-1}+c_n\) 的递归式（即线性的递归式）转化成和式以求出 \(T_n\)，主要思想在于利用一个求和因子 \(s_n\) 来乘两边，有

\[s_na_nT_n=s_nb_nT_{n-1}+s_nc_n \]

其中 \(s_n\) 需使得 \(s_nb_n=s_{n-1}a_{n-1}\)，那么记 \(S_n=s_na_nT_n\) ，于是有

\[S_n=S_{n-1}+s_nc_n \]

那么有

\[S_n=s_0a_0T_0+\sum\limits_{i=1}^n{s_ic_i}=s_1b_1T_0+\sum\limits_{i=1}^n{s_ic_i} \]

于是原递归式的解为

\[T_n=\frac{1}{s_na_n}(s_1b_1T_0+\sum\limits_{i=1}^n{s_ic_i}) \]

这个方法的主要技巧即在于把 \(T_n\) 转为 \(S_n\) .

那么问题来了，我们如何求出适当的 \(s_n\) 使它满足 \(s_nb_n=s_{n-1}a_{n-1}\) ？

我们将这个式子展开，就有 \(s_n=\frac{a_{n-1} a_{n-2}...a_1}{b_n b_{n-1}...b_2}\)，只需使得 \(s_n\) 是这个式子的任意常数倍即可

三.和式的处理 \(Manipulations\) \(of\) \(Sums\)

(1)加法基本定律(?)

• 分配律：\(\sum\limits_{k \in K}{ca_k}=c\sum\limits_{k \in K}{a_k}\)
• 结合律：\(\sum\limits_{k \in K}{*(a_k + b_k)}=\sum\limits_{k \in K}{a_k} + \sum\limits_{k \in K}{b_k}\)
• 交换律：\(\sum\limits_{k \in K}{a_k} = \sum\limits_{p(k) \in K}{a_{p(k)}}\)
• [FBI Warning] 一般的交换律中的函数\(p(k)\)，都是假设所有整数的排列，即对于每一个整数\(n\)都恰好存在一个整数\(k\)，使得\(p(k)=n\)。

那么高斯在他7岁时发现的“高斯求和法”就可看做是这三条定律的综合应用：

(2)和式的基本操作

记等差级数\(S=\sum\limits_{i=0}^n{(a+bi)}\)，
由交换律，用\((n-i)\)代替\(i\)，\(S=\sum\limits_{0 \leq n-i \leq n}{(a+b(n-i))}=\sum\limits_{i=0}^n{(a+bn-bi)}\)
由结合律，二式相加有\(2S=\sum\limits_{i=0}^n{(2a+bn)}\)
再结合分配律，最后两边约去2，有\(\sum\limits_{i=0}^n{(a+bi)}=(n+1)(a+\frac{bn}{2})\)

我们同样也可以利用这样的定律导出和式的其他性质，例如：

(3)和式的简单性质

\(\sum\limits_{k \in K}a_k+\sum\limits_{k \in K'}a_k=\sum\limits_{k \in K \cap K'}a_k+\sum\limits_{k \in K \cup K'}a_k\)，
这是由\(\sum\limits_{k \in K}a_k=\sum\limits_{k}{a_k[k \in K]}\) 以及 \([k \in K]+[k \in K']=[k \in K \cap K']+[k \in K \cup K']\)推出的

(4)扰动法

扰动法的基本思想，是通过分离\(S_{n+1}\)的最前面一项和最后面一项，用两种方法改写他，并尝试用\(S_n\)表示后面一种的改写方法，这样我们就得到一个方程，他的解即为我们所求的和式，具体是这样：
设 \(S_{n}=\sum_{0 \leq k \leq n} a_{k}\)，则：

\(\quad S_{n}+a_{n+1}\)
\(\quad=\sum\limits_{0 \leq k \leq n+1} a_{k}\)
\(\quad=a_{0}+\sum\limits_{1 \leq k \leq n+1} a_{k}\)
\(\quad=a_{0}+\sum\limits_{1 \leq k+1 \leq n+1} a_{k+1}\)
\(\quad=a_{0}+\sum\limits_{0 \leq k \leq n} a_{k+1}\)
尝试用 \(S_n\) 表示 \(a_{0}+\sum\limits_{0 \leq k \leq n} a_{k+1}\)，解这个方程即可

例如：我们来用扰动法来求一般的几何级数 \(S_n=\sum\limits_{0 \leq k \leq n}{ax^k}\)，有：
\(S_n+ax^{n+1}=ax^0+\sum\limits_{0 \leq k \leq n}{ax^{k+1}}=a+x\sum\limits_{0 \leq k \leq n}{ax^k}=a+xS_n\)
整理得\(S_n+ax^{n+1}=a+xS_n\)，解之得 \(S_n=\frac{a-ax^{n+1}}{1-x},x \neq 1\)
对这个东西两边分别对\(x\)求导，可以得到关于\(\sum\limits_{k=0}^n{kx^k}\)的封闭形式，此处不多赘述

四.多重和式 \(Mutiple\) \(Sums\)

(1)定义

如果同时有两个以上的指标（例如\(j,k\)）指定一个和式的项，可以用艾弗森约定这么表示：

\[\sum\limits_{P(j, k)} a_{j, k}=\sum\limits_{j, k} a_{j, k}[P(j, k)] \]

(2)简易交换和号

我们一般利用多重和号来表示这样的式子，那么又有

\[\sum\limits_{P(j, k)} a_{j, k}=\sum\limits_{j} \sum\limits_{k} a_{j, k}[P(j, k)]=\sum\limits_{k} \sum\limits_{j} a_{j, k}[P(j, k)] \]

我们将这个东西称为“交换和号”
同时还有多重和号的分配律，即

\[\sum\limits_{j \in J, k \in K} a_{j} b_{k}=\left(\sum\limits_{j \in J} a_{j}\right)\left(\sum\limits_{k \in K} b_{k}\right) \]

我们可将其看做简易型的交换和号

(3)复杂交换和号

这里讨论的是内和的范围与外和的指标变量有关的情形，例如：

\[\sum\limits_{j \in J}\sum\limits_{k \in K(j)}{a_{j,k}}=\sum\limits_{k \in K'}\sum\limits_{j \in J'(k)}{a_{j,k}} \]

它在 \([j \in J][k \in K(j)]=[k \in K'][j \in J'(k)]\) 的前提下满足
我们有一个很有用的式子：\([1 \leq j \leq n][j \leq k \leq n]=[1 \leq j \leq k \leq n]=[1 \leq k \leq n][1 \leq j \leq k]\)

接下来我们来看一个应用：

(4)应用

我们希望对 \(S=\sum\limits_{1 \leq j \leq k \leq n}{a_ja_k}\) 求出一个简单的封闭形式

有：\(S=\sum\limits_{1 \leq j \leq k \leq n}{a_ja_k}=\sum\limits_{1 \leq k \leq j \leq n}{a_ka_j}=\sum\limits_{1 \leq k \leq j \leq n}{a_ja_k}=S'\)

又由于\([1 \leq j \leq k \leq n]+[1 \leq k \leq j \leq n]=[1 \leq j,k \leq n]+[1 \leq j=k \leq n]\)，则有

\(2S=S+S'=\sum\limits_{1 \leq j,k \leq n}{a_ja_k}+\sum\limits_{1 \leq j=k \leq n}{a_ja_k}\)

其中第一个和式等于\(\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{j}\right)\left(\sum\limits_{k=1}^n a_{k}\right)=(\sum\limits_{k=1}^n{a_k})^2\)

第二个和式等于\(\sum\limits_{k=1}^na_k^2\)，

整理即可得出 \(S\) 的简单封闭形式

五.有限微积分 \(Finite\) \(Calculus\)

• 算子：吃进去函数吐出来函数的东西
• 泛函：吃进去函数吐出来数的东西

(1)无限微积分与有限微积分

无限微积分基于由\(Df(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\)所定义的微分算子 \(D\) 的性质(其实就是\(f'\))
有限微积分基于由\(\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)\)所定义的差分算子 \(\Delta\) 的性质
我们可以将有限微积分看作无限微积分的有限模拟，它限制了只能取 \(\Delta x\)的正整数值
在高中，我们有\(D(x^m)=mx^{m-1}\)，我们来看看有限微积分是否也有类似的性质，但是没有.
但是有另一类幂可以在\(\Delta\)的作用下很好地变换，让我们来看看

(2)下降幂

下降幂 \(x^{\underline{m}}=x(x-1)(x-2)...(x-m+1)，m \geq 0\)，读作“\(x\)直降\(m\)次”
相应的，也有上升幂\(x^{\overline{m}}=x(x+1)(x+2)...(x+m-1)，m \geq 0\)，读作“\(x\)直升\(m\)次”
下降幂在斯特林数与组合数中有许多应用，并且斯特林数可处理一般幂与下降幂的许多转换，此处不赘述
那么，我们有\(\Delta(x^{\underline{m}})=mx^{\underline{m-1}}\)，直接展开差分即可得证

(3)逆差分算子 \(\sum\)

无限微积分中算子\(D\)有相应的逆微分算子\(\displaystyle \int\)（或积分算子），微积分基本定理则将他们联系起来：

\[\displaystyle \int{f(x)dx}=F(x)+C \iff f(x)=DF(x) \]

（在高中课本内不列出\(C\)是因为\(F(b)-F(a)\)的过程中将\(C\)抵消了，故只取最简单的原函数\(F(x)\)）
类似地，有限微积分中算子\(\Delta\)有相应的逆差分算子\(\sum\)（或求和算子），他也有一个类似的基本定理：

\[\sum{f(x)\delta x}=F(x)+C \iff f(x)=\Delta F(x) \]

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那么，无限微积分有定积分\(\displaystyle \int_{a}^b{f(x)dx}=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)\)
类似地，有限微积分也有确定的和式 \(\sum_a^b{f(x)\delta x}=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)\)
那么这里运用类比的手法方法给出了\(\sum_a^b{f(x)\delta x}\)的定义，我们希望得到直观上的真正含义
通过数学归纳法，我们可以得到当 \(a,b \in Z\) 且 \(a \leq b\) 时，有
\(\sum_a^b{f(x)\delta x}=\sum\limits_{k=a}^{b-1}f(k)=\sum\limits_{a \leq k < b}f(k)\)

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运用上面的定义，我们可以来做一些事情
例如计算下降幂的简单方法：\(\sum\limits_{0 \leq k < n}{k^{\underline{m}}}=\frac{k^{\underline{m+1}}}{m+1}|_0^n=\frac{n^{\underline{m+1}}}{m+1}\)
这个优秀的性质可以给我们很多有趣的结果，例如我们知道：
\(k^2=k^{\underline{2}}+k^{\underline{1}}\)，于是我们可以推出：

\[\sum\limits_{0 \leq k <n}{k^2}=\frac{n^{\underline{3}}}{3}+\frac{n^{\underline{2}}}{2}=\frac{1}{3}n(n-\frac{1}{2})(n-1) \]

这可以成为我们计算平方和的另一种巧妙方法

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对于负指数的下降幂，我们也有定义:\(x^{\underline{-m}}=\frac{1}{(x+1)(x+2)...(x+m)}\)

六.无限和式 \(Infinite\) \(Sums\)

• 不会，咕了