组合数学 学习笔记

1.几个组合恒等式

$(1)C_n^m=C_n^{n-m}$

$(2)\sum _{i=0}^{min(n,m,k)}{C}_n^i\times C_m^{k-i}=C_{n+m}^k$

$(3)\sum _{i=0}^n{C}_n^i=2^n$

$(4)\sum _{i=0}^n{c}_n^i\times i=n\times 2^{n-1}$

$(5)\sum _{i=0}^n{C}_n^i{x}^{n-i}{y}^i=(x+y{)}^n$

证明：

$(1)$ 从 $n$ 个数里面选 $m$ 个，等价于从 $n$ 个里面不选 $n-m$ 个。

$(2)$ 自己看吧（公式以本处为准）

$(3)$ 忘了

$(4)\sum _{i=0}^n{c}_n^i\times i$

$=\sum _{i=0}^n\frac{n!}{(n-i)!i!}\times i$

$=\sum _{i=0}^n\frac{(n-1)!}{(n-i)!(i-1)!}\times n$

$=n\times \sum _{i=0}^n{C}_{n-1}^i$

$=n\times 2^{n-1}$

$(5)$ 自己看吧

几个定义：

Catalan 数：$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$

第二类stirling数（求法看OI-WIKI）：$S_n^m=S_{n-1}^{m-1}+m\times S_{n-1}^m$

stirling例题：CF961G

例题不会

划分数：$P_n^m$

经典组合问题：

将 $n$ 个小球放到 $m$ 个盘子里，求方案数。

	小球编号	盘子编号	空盘	方案数
1	有	有	有	$m^n$
2	有	无	无	$S_n^m$
3	有	有	无	$S_n^m\times m!$
4	有	无	有	$\sum _{i=1}^m{S}_n^i$
5	无	有	无	$C_{n-1}^{m-1}$
6	无	有	有	$C_{n+m-1}^{m-1}$
7	无	无	无	$P_n^m$
8	无	无	有	$P_{n+m}^m$

插板法 捆绑法

考虑有 $n$ 个 1，$m$ 个 0，用所有 0 和 1 组成一个序列，两个 0 不能放一起，求方案数。($n\ge m$)

sol：考虑两个 0 之间有一个 1，相当于往 $n+1$ 个空里面放 0，所以答案为 $C_{n+1}^m$。

考虑有 $n$ 个红色小球，$m$ 个 蓝色小球，球不同，排列方式需要满足所有蓝色小球放一起。求方案数。($n\ge m$)

sol：考虑将 $m$ 个蓝色小球看为一个整体，答案就是 $(n+1)!m!$。