组合数学 学习笔记

1.几个组合恒等式

\((1)C_n^m=C_n^{n-m}\)

\((2)\sum\limits_{i=0}^{\min(n,m,k)} {C_n^i \times C_m ^{k-i}}=C _{n+m}^k\)

\((3)\sum\limits_{i=0}^nC_n^i=2^n\)

\((4)\sum\limits _{i=0}^n {c_n^i\times i}=n\times 2^{n-1}\)

\((5)\sum\limits _{i=0}^{n}{C_n^ix^{n-i}y^i}=(x+y)^n\)

证明：

\((1)\) 从 \(n\) 个数里面选 \(m\) 个，等价于从 \(n\) 个里面不选 \(n-m\) 个。

\((2)\) 自己看吧（公式以本处为准）

\((3)\) 忘了

\((4)\sum\limits _{i=0}^n {c_n^i\times i}\)

\(=\sum\limits_{i=0}^n{\frac {n!}{(n-i)!i!}\times i}\)

\(=\sum\limits_{i=0}^{n}{\frac{(n-1)!}{(n-i)!{(i-1)!}}\times n}\)

\(=n\times\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n-1}^{i}\)

\(=n\times 2^{n-1}\)

\((5)\) 自己看吧

几个定义：

Catalan 数：\(C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}\)

第二类stirling数（求法看OI-WIKI）：\(S_n^m=S_{n-1}^{m-1}+m\times S_{n-1}^m\)

stirling例题：CF961G

例题不会

划分数：\(P_n^m\)

经典组合问题：

将 \(n\) 个小球放到 \(m\) 个盘子里，求方案数。

	小球编号	盘子编号	空盘	方案数
1	有	有	有	\(m^n\)
2	有	无	无	\(S_n^m\)
3	有	有	无	\(S_n^m\times m!\)
4	有	无	有	\(\sum\limits_{i=1}^m S_n^i\)
5	无	有	无	\(C_{n-1}^{m-1}\)
6	无	有	有	\(C_{n+m-1}^{m-1}\)
7	无	无	无	\(P_n^m\)
8	无	无	有	\(P_{n+m}^m\)

插板法 捆绑法

考虑有 \(n\) 个 1，\(m\) 个 0，用所有 0 和 1 组成一个序列，两个 0 不能放一起，求方案数。(\(n\ge m\))

sol：考虑两个 0 之间有一个 1，相当于往 \(n+1\) 个空里面放 0，所以答案为 \(C_{n+1}^m\)。

考虑有 \(n\) 个红色小球，\(m\) 个 蓝色小球，球不同，排列方式需要满足所有蓝色小球放一起。求方案数。(\(n\ge m\))

sol：考虑将 \(m\) 个蓝色小球看为一个整体，答案就是 \((n+1)!m!\)。