树状数组学习笔记

目录

1. 原理（结构）

2. 建树

3. 应用

   1. 单点修改，区间求和

   2. 区间修改，单点求值

   3. 区间修改，区间求和

   4. 单点修改，区间求最值

   5. 求逆序对个数

   6. 二维树状数组

   7. trick：树状数组上倍增

   8. 权值树状数组

正文

1. 原理

引用日报图片。

设黑色框内数组为 $a_1\to a_8$.

可以推得 $c_i=a_{i-2^k+1}+a_{i-2^k+2}+...+a_i$，其中 $k$ 为 $i$ 的二进制最低位到最高位连续零的长度

问题转变为求出二进制中从最低位到高位连续零的长度。

此时，我们引入 lowbit(x)=x&(-x) 。

其实可以发现，树状数组其实就是对原数组做一个特殊的前缀和，使得其可以 $O(\log n)$ 修改和查询。

2. 建树

一般使用 $n$ 次修改，时间复杂度为 $O(n\log n)$，不影响总复杂度。

但有两种方法可以达到 $O(n)$。

1. 根据定义，$c_i$ 表示区间 $[i-\mathrm{lowbit}(i)+1,i]$​ 的和，可以直接前缀和。

for(int i=1;i<=n;i++)a[i]+=a[i-1],tr[i]=a[i]-a[i-(i&-i)];

2. 算贡献。这个结合代码理解比较好。

   for(int i=1;i<=n;i++)
   {
       scanf("%d",&a[i]);
       for(int j=1;j<lowbit(i);j*=2){
           a[i]+=a[i-j];
       }
   }

   for(int i=1;i<=n;i++){
       scanf("%lld",&x);
       a[i]+=x;
       if(i+lowbit(i)<=n)a[i+lowbit(i)]+=a[i];//注意这里的条件
   }

   两个代码等价，所以复杂度为 $O(n)$。显然也可以直接算一下第一个的大小，发现是 $O(n)$ 的。

   3. 应用

   1）单点修改，区间求和

   最基本的应用。

   ll qry(int x) {
   	ll ans=0;
   	for(; x; x-=lowbit(x)) ans+=tr[x];
   	return ans;
   }
   void upd(int x,ll y) {
   	for(; x<=n; x+=lowbit(x)) tr[x]+=y;
   }

2）区间修改，单点查询

显然可以记 b 数组为原数组的差分数组，然后在区间 $[l,r]$ 加 $x$ 就是在 $l$ 位置加 $x$ ，在 $r+1$ 位置减去 $x$。

3）区间修改，区间查询

记原数组 $a$ 的差分数组为 $b$，则 $a_i=\sum _{j=1}^i{b}_j$。

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^r{a}_i& =\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^i{b}_j\\ & =\sum _{i=1}^r(r-i+1)b_i\\ & =\sum _{i=1}^{r}r{b}_i-\sum _{i=1}^r(i-1)b_i\\ & =r\sum _{i=1}^r{b}_i-\sum _{i=1}^r(i-1)b_i\end{array}$$

同时维护 $b_i,(i-1)b_i$ 即可。

int a[maxn],b[maxn],ib[maxn],n,m;
ll query(int x) {
	ll ans=0;
	int z=x;
	for(; x; x-=lowbit(x)) ans+=z*b[x]-ib[x];
	return ans;
}
void upd(int x,ll y) {
	int z=x;
	for(; x<=n; x+=lowbit(x)) b[x]+=y,ib[x]+=y*(z-1);
}

4）单点修改，区间最值

有点抽象，直接背板。

ll a[maxn],tr[maxn];
const ll INF=1e10;
int n,m;
void upd(int x,ll y) {
	for(; x<=n; x+=lowbit(x)) tr[x]=max(tr[x],y);
}
ll query(int l,int r) {
	ll res=-INF;
	for(; r>=l&&r-l+1>=lowbit(r); r-=lowbit(r)) res=max(res,tr[r]);
	while(r>=l) {
		res=max(res,a[r]);
        if(r-l+1<lowbit(r)) r--;
		else res=max(res,tr[r]),r-=lowbit(r);
	}
	return res;
}

5）求逆序对/顺序对

给出逆序对代码。

struct element {
	ll val;
	int id;
	bool operator < (element x) const {
		return x.val<val;
	}
} a[maxn];
int n,b[maxn],tr[maxn];
ll query(int x) {
	ll ans=0;
	for(; x; x-=lowbit(x)) ans+=tr[x];
	return ans;
}
void upd(int x,int o) {
	for(; x<=n; x+=lowbit(x)) tr[x]+=o;
}
void solve() {
	cin>>n;
	for(int i=1; i<=n; i++) cin>>a[i].val,a[i].id=i;
	stable_sort(a+1,a+n+1);
	for(int i=1; i<=n; i++) b[a[i].id]=i;
	ll ans=0;
	for(int i=n; i; i--) {
		upd(b[i],1);
		ans+=query(b[i]-1);
	}
	cout<<ans<<'\n';
}

6）二维树状数组

Useless algorithm！！！！！！！！！！！！！！！！111

7）树状数组上倍增

一个很神的 trick，可以在 $O(\log n)$ 的时间内在树状数组上二分。

开始二分，设初始位置为 $r$，$sum=\sum _{i=1}^{r}t{r}_i$，要求的数记为 $ans$。

考虑依次跳 $2^{\log n},2^{\log n-1},...,2^0$ 个单位，方式如下：如果跳的这位更新后 $>ans$，则不更新，否则更新。也就是说，时刻保证 $\sum _{i=1}^{r}tr+i\le y$。

发现往后跳的段都是诸如 $[r+1,r+2^k]$ 的段，显然树状数组可以 $O(1)$ 统计。

例题：P6619 [省选联考 2020 A/B 卷] 冰火战士。

Solve

发现因为冰、火战士的特殊性，对冰、火战士的温度从小到大排序后，可用的冰战士是所有冰战士的一段前缀，可用火战士是所有火战士的一段后缀。

考虑记 $f(x)$ 表示温度为 $x$ 时消耗的总能量之和，不难发现 $f(x)$ 等于两边能量的最小值乘二，这是一个单峰函数。

则答案在单峰函数的峰顶左右两侧。考虑二分找到最大的 $x$ 使得 $\sum ic{e}_x<\sum fir{e}_x$ 和最大的 $y$ 使得 $\sum _{i=1}^{x+1}fir{e}_i=\sum _{i=1}^{y}fir{e}_i$。

显然答案不是 $x$ 就是 $y$，随便算下就行了。

8）权值树状数组

使用条件：值域小 或 不强制在线（不强制在线时可以离散化）

假设维护一个桶 $t$，大小为值域（这就是为啥要离散化）。

1. 插入一个数。即桶内这个位置加1。

2. 删除一个数。即桶内这个位置减1。

3. 求 $x$ 的排名。即求 $(\sum _{i=1}^{x-1}{t}_i)+1$。

4. 求排名为 $x$ 的数。

   记 $f(x)$ 表示 $x$ 的排名。则 $f(x)=(\sum _{i=1}^{x-1}{t}_i)+1$。

   我们需要找到最大的 $y$ 使得 $f(y)\le x$。可以用到上面树状数组上倍增的技巧，时间复杂度仍然为 $O(\log n)$。

   int kth(int k,int r) {//r为开始二分的位置
       int t=0;
       //w 为值域
       for(int i=__lg(w),x,y; i>=0; i--) {
           if((x=r+(1<<i))>w) continue;
           if((y=(t+tr[x])<k) r=x,t=y;
       }
       return r+1;
   }

   5. 求 $x$ 的前驱，即求 $\mathrm{kth}(\mathrm{rnk}(x)-1)$。
   6. 求 $x$ 的后继，即求 $\mathrm{kth}(\mathrm{rnk}(x+1))$。

给出参考实现 by diqiuyi：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100010;
int n,a[maxn],t[maxn],cnt,tot;
pair<int,int> p[maxn];
#define lowbit(x) (x&(-x))
inline void Add(int x,int val) {
    for(; x<=cnt; x+=lowbit(x))
        t[x]+=val;
}
inline int query(int x) {
    int res=0;
    for(; x; x-=lowbit(x))
        res+=t[x];
    return res;
}
inline int rnk(int x) {
    int res=0,sum=0;
    for(int i=17; ~i; i--)
        if(res+(1<<i)<=cnt&&sum+t[res+(1<<i)]<x)
            sum+=t[res+(1<<i)],res+=(1<<i);
    return res+1;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        cin>>p[i].first>>p[i].second;
        if(p[i].first^4) a[++tot]=p[i].second;
    }
    sort(a+1,a+tot+1);
    cnt=unique(a+1,a+tot+1)-a-1;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        if(p[i].first^4)
            p[i].second=lower_bound(a+1,a+cnt+1,p[i].second)-a;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        if(p[i].first==1) Add(p[i].second,1);
        else if(p[i].first==2) Add(p[i].second,-1);
        else if(p[i].first==3) cout<<query(p[i].second-1)+1<<'\n';
        else if(p[i].first==4) cout<<a[rnk(p[i].second)]<<'\n';
        else if(p[i].first==5) cout<<a[rnk(query(p[i].second-1))]<<'\n';
        else cout<<a[rnk(query(p[i].second)+1)]<<'\n';
    }
    return 0;
}

参考

1. 从0到inf，超详细的树状数组详解

2. 可以代替线段树的树状数组?——树状数组进阶(1)

3. 可以代替平衡树的树状数组?——树状数组进阶(2)

4. 浅谈树状数组的优化及扩展

5. 浅谈权值树状数组及其扩展