分块 学习笔记

目录

1. 分块思想

2. 分块基础操作

   2.1 $O(\sqrt{n})-O(\sqrt{n})$ 区间加、区间查询

   2.2 $O(1)-O(\sqrt{n})$ 区间加、单点查询

   2.3 $O(\sqrt{n})-O(1)$ 单点加、区间查询

3. 各种分块思路

   3.1 对序列分块

   1. 普通区间和

   2. 维护区间 $k$ 大等

   3.2 对值域分块

   3.3 对操作分块

   3.4 对树分块

4. 莫队

5. 定期重构

6. 根号分治

正文

0.约定

一般地，设块长为 $B$，块数为 $cnt$。

1. 分块思想

考虑将一个长度为 $n$ 的序列分成 $cnt$ 份，那么每份的长度为 $B=\frac{n}{cnt}$。当 $cnt=\sqrt{n}$ 时，$cnt=\frac{n}{cnt}=B$。这导致一个很有趣的性质，就是如果对每一份打 tag，最多不会打 $O(\sqrt{n})$ 次；而对每个块暴力修改，每个块最多修改 $O(\sqrt{n})$ 次。分块算法基于这个思想的基础而诞生。具体地说，对一段区间的修改或询问，对中间的整块直接打 tag，对两侧的零散块暴力修改，就可以保证单次操作复杂度为 $O(\sqrt{n})$。

容易发现，分块本身维护的信息不需要有 可合并性，这是它优于线段树的地方。但是根号带来的复杂度仍然是瓶颈。2e5凭什么卡根号

2. 分块基础操作

2.1 $O(\sqrt{n})-O(\sqrt{n})$ 区间加、区间查询

直接做即可。

2.2 $O(1)-O(\sqrt{n})$ 区间加、单点查询

考虑维护差分数组，单点查询就变成了前缀和。

2.3 $O(\sqrt{n})-O(1)$ 单点加、区间查询

考虑维护块内前缀和、整块的前缀和，每次中间的整块直接算而零散用块内前缀和算，修改把前缀和全改了就行。

3. 各种分块思路

3.1.1对序列分块-普通区间和

直接做。

3.1.2 维护区间 $k$ 大等

例题：ABC339G，[Ynoi2017] 由乃打扑克

对于ABC339G，对 $cnt$ 块内各自排序并做前缀和，每次询问零散块直接查，整块在排序的数组内二分 $\le k$ 的位置，直接算前缀和贡献即可。

计算复杂度，单次询问为 $O(B+cnt\times \log B)$，B取 $\sqrt{n\log n}$ 时最优。

对于 P5356 同理，修改时暴力对块重构即可。

3.2 对值域分块

你发现值域分块其实就是序列分块拍到值域上，没啥区别。

3.3 对操作分块

考虑如果一些修改的影响可以直接计算，不妨对询问分块。

例题：CF925E、CF1588F、[APIO2019] 桥梁、 [HNOI2016] 最小公倍数、GDKOI2024 新本格魔法少女

3.4 对树拍平分块

考虑直接把树用 dfs 序拍平，然后可以方便地在上面维护子树信息。但仅限于子树，不如树剖，静态问题也一般用 dsu on tree 代替。至于树分块，应用较少，我也不会。

4. 莫队

概述

莫队算法是一种离线算法，普通莫队可以 $O(n\sqrt{n})$ 解决一些区间查询问题。这个问题需要满足区间 $[l,r]$ 的答案能快速求出区间 $[l-1,r],[l+1,r],[l,r+1],[l,r-1]$ 的答案。经过一些扩展可以完成修改、上树等操作。

普通莫队

P7764

首先考虑一种暴力：维护两个指针 $l,r$，暴力地在询问之间转移。比如这一题离散化后维护一个数组表示数字出现的个数，移动指针添数删数即可。

但是这样可能导致指针移动过多，因此还是 $O(n^2)$ 的。实际上这种暴力与莫队算法只差一个将询问排序：
将序列分块，按左端点所在的块排序，左端点相同则按右端点排序。这样能保证 $O(n\sqrt{n})$。

struct query{
  int l,r,id;
}q[500005];
bool cmp(query a,query b){
  return bel[a.l]==bel[b.l]?a.r<b.r:a.l<b.l;
}

感性地证明一下：对于左端点相同的询问，右端点移动是 $O(n)$ 的。而左端点有 $\sqrt{n}$ 个块，相乘就是 $O(n\sqrt{n})$。

另一道题：高橋君

这题看似与区间不相关，实际上也可以用莫队。

莫队的本质是维护多个指针，不一定与区间相关，甚至 A+B problem 多组询问也可以用莫队。

对于这题维护指针 $n,m$，分类讨论讨论如何转移。

对于 $m$：

$$f(n,m+1)=f(n,m)+C_n^{m+1}$$

对于 $n$：

$$\begin{array}{rl}f(n+1,m)& =\sum _{i=0}^m{C}_{n+1}^i\\ & =\sum _{i=0}^m{C}_n^i+C_n^{i-1}\\ & =2\sum _{i=0}^m{C}_n^i-C_n^m\\ & =2f(n,m)-C_n^m\end{array}$$

预处理一下组合数即可 $O(1)$ 转移。

注意事项

1. 指针移动的顺序

为了防止出现指针右端点小于左端点的情况，不能随意调换四个循环。设第一步操作左端点，只有三种正确：l--,r--,r++,l++、l--,r++,l++,r--、l--,r++,r--,l++。

2. 奇偶化排序

当左端点相同时，如果左端点的块为奇数，右端点从小到大排序，否则从大到小排序。这样的话偶数块的询问可以在奇数块询问解决后，$r$ 指针返回的途中解决。

bool cmp(query a,query b){
  return a.l/bn==b.l/bn?(a.l/bn&1?a.r/bn<b.r/bn:a.r/bn>b.r/bn):a.l/bn<b.l/bn;
}

带修莫队

莫队不只有区间查询，也可支持修改。

P1903

多加一维指针 $x$ 表示查询之前有多少修改，发现一个修改操作的删除撤销也可以 $O(1)$，像指针 $l,r$ 一样移动。

排序方法参照原版莫队三个关键字排序。

带修莫队属于三维莫队，理论上块长取 $n^{\frac{2}{3}}$ 最优，复杂度为 $O(n^{\frac{5}{3}})$。一般地，如果莫队有 $d$ 维，块长取 $n^{\frac{d-1}{d}}$ 最优，复杂度 $O(n^{\frac{2d-1}{d}})$。

括号序树上莫队

用 dfs 序。

莫队的在线化改造

参考日报

5. 定期重构

用线段树1为例，每 $\sqrt{n}$ 次操作重构整个序列，每次询问考虑上次重构到这次操作对这段的影响。

例题：数列分块入门6

用 vector 存储，考虑当一个块大小超过 $2\sqrt{n}$ 时，对其分成两个块。分析一下复杂度是正确的。

6. 根号分治（阈值分治）

考虑一个最简单的例题：对 $x,x+y,...,x+ky(<=n)$ 的位置加上 $z$，单点查询值。

发现一般的数据结构不好维护。所以根号分治产生。

对于 $y\ge B$ 的情况，肯定只会修改 $\le \frac{n}{B}=B$ 个位置，暴力修改。

对于 $y\le B$ 的情况，记 $f_{i,j}$ 表示模 $i$ 余 $j$ 的位置增加的数，查询时查表即可。

加强版是 [Ynoi2011] 初始化。

大于 $B$ 的直接加，小于 $B$ 的显然可以记 $f_{i,j}$ 表示所有模 $i$ 余 $j$ 的位置加的数。发现这样算的话修改和查询分别是 $O(1)-O(B)$ 的，所以考虑根号平衡，记 $pr{e}_{i,j}$ 表示模 $i$ 前 $j$ 的贡献，$su{f}_{i,j}$ 表示模 $i$ 为 $j\sim i$ 的贡献。这样就变成 $O(B)-O(1)$ 了。对每个 $i$ 算算贡献即可。

代码不难写，但是 |x| 卡常。