分块 学习笔记

目录

1. 分块思想

2. 分块基础操作

   2.1 \(O(\sqrt n)-O(\sqrt n)\) 区间加、区间查询

   2.2 \(O(1)-O(\sqrt n)\) 区间加、单点查询

   2.3 \(O(\sqrt n)-O(1)\) 单点加、区间查询

3. 各种分块思路

   3.1 对序列分块

   1. 普通区间和

   2. 维护区间 \(k\) 大等

   3.2 对值域分块

   3.3 对操作分块

   3.4 对树分块

4. 莫队

5. 定期重构

6. 根号分治

正文

0.约定

一般地，设块长为 \(B\)，块数为 \(cnt\)。

1. 分块思想

考虑将一个长度为 \(n\) 的序列分成 \(cnt\) 份，那么每份的长度为 \(B=\frac n {cnt}\)。当 \(cnt=\sqrt n\) 时，\(cnt=\frac n {cnt}=B\)。这导致一个很有趣的性质，就是如果对每一份打 tag，最多不会打 \(O(\sqrt n)\) 次；而对每个块暴力修改，每个块最多修改 \(O(\sqrt n)\) 次。分块算法基于这个思想的基础而诞生。具体地说，对一段区间的修改或询问，对中间的整块直接打 tag，对两侧的零散块暴力修改，就可以保证单次操作复杂度为 \(O(\sqrt n)\)。

容易发现，分块本身维护的信息不需要有 可合并性，这是它优于线段树的地方。但是根号带来的复杂度仍然是瓶颈。2e5凭什么卡根号

2. 分块基础操作

2.1 \(O(\sqrt n)-O(\sqrt n)\) 区间加、区间查询

直接做即可。

2.2 \(O(1)-O(\sqrt n)\) 区间加、单点查询

考虑维护差分数组，单点查询就变成了前缀和。

2.3 \(O(\sqrt n)-O(1)\) 单点加、区间查询

考虑维护块内前缀和、整块的前缀和，每次中间的整块直接算而零散用块内前缀和算，修改把前缀和全改了就行。

3. 各种分块思路

3.1.1对序列分块-普通区间和

直接做。

3.1.2 维护区间 \(k\) 大等

例题：ABC339G，[Ynoi2017] 由乃打扑克

对于ABC339G，对 \(cnt\) 块内各自排序并做前缀和，每次询问零散块直接查，整块在排序的数组内二分 \(\le k\) 的位置，直接算前缀和贡献即可。

计算复杂度，单次询问为 \(O(B+cnt\times \log B)\)，B取 \(\sqrt {n \log n}\) 时最优。

对于 P5356 同理，修改时暴力对块重构即可。

3.2 对值域分块

你发现值域分块其实就是序列分块拍到值域上，没啥区别。

3.3 对操作分块

考虑如果一些修改的影响可以直接计算，不妨对询问分块。

例题：CF925E、CF1588F、[APIO2019] 桥梁、 [HNOI2016] 最小公倍数、GDKOI2024 新本格魔法少女

3.4 对树拍平分块

考虑直接把树用 dfs 序拍平，然后可以方便地在上面维护子树信息。但仅限于子树，不如树剖，静态问题也一般用 dsu on tree 代替。至于树分块，应用较少，我也不会。

4. 莫队

概述

莫队算法是一种离线算法，普通莫队可以 \(O(n\sqrt{n})\) 解决一些区间查询问题。这个问题需要满足区间 \([l,r]\) 的答案能快速求出区间 \([l-1,r],[l+1,r],[l,r+1],[l,r-1]\) 的答案。经过一些扩展可以完成修改、上树等操作。

普通莫队

P7764

首先考虑一种暴力：维护两个指针 \(l,r\)，暴力地在询问之间转移。比如这一题离散化后维护一个数组表示数字出现的个数，移动指针添数删数即可。

但是这样可能导致指针移动过多，因此还是 \(O(n^2)\) 的。实际上这种暴力与莫队算法只差一个将询问排序：
将序列分块，按左端点所在的块排序，左端点相同则按右端点排序。这样能保证 \(O(n\sqrt{n})\)。

struct query{
  int l,r,id;
}q[500005];
bool cmp(query a,query b){
  return bel[a.l]==bel[b.l]?a.r<b.r:a.l<b.l;
}

感性地证明一下：对于左端点相同的询问，右端点移动是 \(O(n)\) 的。而左端点有 \(\sqrt{n}\) 个块，相乘就是 \(O(n\sqrt{n})\)。

另一道题：高橋君

这题看似与区间不相关，实际上也可以用莫队。

莫队的本质是维护多个指针，不一定与区间相关，甚至 A+B problem 多组询问也可以用莫队。

对于这题维护指针 \(n,m\)，分类讨论讨论如何转移。

对于 \(m\)：

\[f(n,m+1)=f(n,m)+C_n^{m+1} \]

对于 \(n\)：

\[\begin{aligned}f(n+1,m)&=\sum_{i=0}^{m}C_{n+1}^i \\&=\sum_{i=0}^{m}C_n^i+C_n^{i-1}\\&=2\sum_{i=0}^{m}C_{n}^i-C_n^m\\&=2f(n,m)-C_n^m\end{aligned} \]

预处理一下组合数即可 \(O(1)\) 转移。

注意事项

1. 指针移动的顺序

为了防止出现指针右端点小于左端点的情况，不能随意调换四个循环。设第一步操作左端点，只有三种正确：l--,r--,r++,l++、l--,r++,l++,r--、l--,r++,r--,l++。

2. 奇偶化排序

当左端点相同时，如果左端点的块为奇数，右端点从小到大排序，否则从大到小排序。这样的话偶数块的询问可以在奇数块询问解决后，\(r\) 指针返回的途中解决。

bool cmp(query a,query b){
  return a.l/bn==b.l/bn?(a.l/bn&1?a.r/bn<b.r/bn:a.r/bn>b.r/bn):a.l/bn<b.l/bn;
}

带修莫队

莫队不只有区间查询，也可支持修改。

P1903

多加一维指针 \(x\) 表示查询之前有多少修改，发现一个修改操作的删除撤销也可以 \(O(1)\)，像指针 \(l,r\) 一样移动。

排序方法参照原版莫队三个关键字排序。

带修莫队属于三维莫队，理论上块长取 \(n^\frac 2 3\) 最优，复杂度为 \(O(n^\frac 5 3)\)。一般地，如果莫队有 \(d\) 维，块长取 \(n^{\frac{d-1}{d}}\) 最优，复杂度 \(O(n^\frac{2d-1}{d})\)。

括号序树上莫队

用 dfs 序。

莫队的在线化改造

参考日报

5. 定期重构

用线段树1为例，每 \(\sqrt n\) 次操作重构整个序列，每次询问考虑上次重构到这次操作对这段的影响。

例题：数列分块入门6

用 vector 存储，考虑当一个块大小超过 \(2\sqrt n\) 时，对其分成两个块。分析一下复杂度是正确的。

6. 根号分治（阈值分治）

考虑一个最简单的例题：对 \(x,x+y,...,x+ky(<=n)\) 的位置加上 \(z\)，单点查询值。

发现一般的数据结构不好维护。所以根号分治产生。

对于 \(y\ge B\) 的情况，肯定只会修改 \(\le \frac{n}B=B\) 个位置，暴力修改。

对于 \(y\le B\) 的情况，记 \(f_{i,j}\) 表示模 \(i\) 余 \(j\) 的位置增加的数，查询时查表即可。

加强版是 [Ynoi2011] 初始化。

大于 \(B\) 的直接加，小于 \(B\) 的显然可以记 \(f_{i,j}\) 表示所有模 \(i\) 余 \(j\) 的位置加的数。发现这样算的话修改和查询分别是 \(O(1)-O(B)\) 的，所以考虑根号平衡，记 \(pre_{i,j}\) 表示模 \(i\) 前 \(j\) 的贡献，\(suf_{i,j}\) 表示模 \(i\) 为 \(j\sim i\) 的贡献。这样就变成 \(O(B)-O(1)\) 了。对每个 \(i\) 算算贡献即可。

代码不难写，但是 |x| 卡常。