欧拉回路

一、引言

欧拉回路问题是图论中最古老的问题，诞生于18世纪欧洲的科尼斯堡问题。

二、定义

设\(G=(V,E)\)是一个图。

欧拉回路：图G中经过每条边一次并且仅一次的回路。

欧拉路径：图G中经过每条边一次并且仅一次的路径。

欧拉图：存在欧拉回路的图。

半欧拉图：存在欧拉路径但不存在欧拉回路的图。

三、性质与定理

假设下面讨论的图G不存在孤立点，否则，先将孤立点从图中删除。

对于无向图：

定理1：无向图G为欧拉图，当且仅当G为连通图且所有定点的度为偶数。

推论1：无向图G为半欧拉图，当且仅当G为连通图且除了两个顶点的度为奇数之外，其它所有顶点的度为偶数。

对于有向图：

定理2：有向图G为欧拉图，当且仅当G的基图连通，且所有顶点的入度等于出度。

推论2：有向图G为半欧拉图，当且仅当G的基图连通，且存在顶点u的入度比出度大1，v的入度比出度小1，其它所有顶点的入度等于出度。

基图：忽略有向图所有边的方向，得到的无向图成为该有向图的基图。

四、求欧拉回路

两种：Hierholzer（套圈）算法和Fluery算法，前者编程简单，时间复杂度更优，后者应用性更广泛，这里不深入分析。

Hierholzer算法：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<set>
using namespace std;
const int N=1025;
multiset<int> h[N];
int degree[N], road[N], k;

void dfs(int x)
{
    for(multiset<int>::iterator py=h[x].begin(); py!=h[x].end(); py=h[x].begin()){
        int y=*py;													 
        h[x].erase(py);												//删边x->y 
        h[y].erase(h[y].find(x));									//删边x->y
        dfs(y);														//从y递归 
    }
    road[k++]=x;													//往队列里插入答案 
}

int main(){
    int F, s=0, t=0;												//s起点，t终点 
    scanf("%d", &F);
    for(int i=1, a, b; i<=F; i++)	scanf("%d%d", &a, &b), degree[a]++, degree[b]++, h[a].insert(b), h[b].insert(a);
    for(int i=1; i<=1024; i++)										//注意模板题中栅栏结点的编号范围不是1~F 
    {
        if(degree[i]%2){											//发现奇点 
            if(!s)			s=i;
            else if(!t)		t=i;
            else 			return 0;								//发现奇点超过2个，无欧拉路径 
        }
	}
	if(s && !t)	return 0;											//只有1个奇点，无欧拉路径
	if(!s)	s=1;													//没有奇点，有欧拉回路，指定1为起点 
    dfs(s);
    for(k=k-1; k>=0; k--)	printf("%d\n", road[k]);				//倒序输出答案，也可以不用road数组，使用一个stack 
    return 0;
}

效率分析：共插入了2E条边，dfs共遍历2E条边。使用multiset可便于快速查找最小值，查找，删除边的复杂度为lgn，故程序时间复杂度为O(Elgn)。

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