摘要：
2002年印度数学家Manindra Agrawal, Neeraj Kayal，Nitin Saxena 给出了一个是否为素数的判别准则。 $$(x-a)^p \equiv (x^p-a)(mod \ p)$$ 证： $\because (x-a)^p = x^p + \sum_{i=1}^{p- 阅读全文
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题目 已知 $x_i = ax_i + bx_{i-1}$，求 $x_n \% MOD$.（$1\leq n\leq 10^{(10^6)}$） 分析 写成矩阵快速幂的形式，相当于求转移矩阵的 $n$ 次幂。 由于 $n$ 过大，只能用字符串形式保存，如果转成二进制复杂度过高，就直接用十进制好了。 阅读全文
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理论部分 欧拉定理：若 $a,n$ 为正整数，且 $a,n$ 互质，则 $a^{\varphi (n)} \equiv 1(mod \ n)$. 降幂公式： $$a^b=\begin{cases}a^{b \% \varphi(p)} & gcd(a,p)=1 \\ a^b & gcd(a,p)\n 阅读全文
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题意 给定 $n$ 个物品，体积分别为 $v_i$，现有 $K$ 的容积一样的箱子，按如下策略装入物品：每次选取尽可能大的装入（较大的不能装入时可以向小的找），依次装入箱子。 分析 首先，不具有严格的单调性，即可能大的箱子不符合但小的符号。与我们的直觉有点不同，是这个策略造成的。 但是基本单调，最优 阅读全文
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题目 给出一个 $n$，判断是否存在 $n$ 个顶点的自补图，如果存在，输出边和映射。 分析 一个无向图若同构于它的补图，则称该图为自补图。 定理：一个自补图一定存在 $4k$ 或 $4k+1$ 个顶点. 证： 原图的边数+补图的边数=完全图的边数=n(n-1)/2 由于原图与补图同构，所以边数相等 阅读全文
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题意 设 $y = (5+2\sqrt 6)^{1+2^x}$，给出 $x, M$（$0\leq x \leq 2^{32}, M \leq 46337$），求 $[y]\%M$. 分析 由通项推递推式？？ 设 $A_n = (5 + 2\sqrt 6)^n, B_n = (5 - 2\sqrt 6 阅读全文
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理论部分 二次剩余 在数论中，整数 $X$ 对整数 $p$ 的二次剩余是指 $X^2$ 除以 $p$ 的余数。 当存在某个 $X$，使得式子 $X^2 \equiv d(mod \ p)$ 成立时，称“ $d$ 是模 $p$ 的二次剩余” 当对任意 $X$，$X^2 \equiv d(mod \ p 阅读全文
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其实跟普通的快速幂类似，只是普通乘法换成了矩阵乘法，所以时间复杂度为 $O(k^3logn)$（$k$为矩阵大小） 阅读全文
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题目 给出一个 $n$ 个顶点 $m$ 条边的图，要求阻塞一些边，使得从 $1$ 到 $n$ 的最短路变长，求阻塞的边长度和的最小值，不必保证阻塞后可达。 分析 很显然，要阻塞的边肯定在最短路图上，先跑一遍单源最短路，求出最短路图。 要使最短路变长，肯定要同时切断原有的所有最短路，又要是长度（相当于 阅读全文
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题目 将 $n$（$1 < n \leq 10^{18}$）质因数分解，求质因数幂的最小值。 分析 直接质因数分解，不太行。 可以这样想，对小区间质因数分解，n变小了，再枚举答案。 打印1-10000之间的素数表然后质因数分解，分解完剩下的那个数， 两种质数（肯定大于 $10^4$）相乘，最多二次， 阅读全文