旅行商问题——状态压缩DP
问题简介
有n个城市，每个城市间均有道路，一个推销员要从某个城市出发，到其余的n-1个城市一次且仅且一次，然后回到再回到出发点。问销售员应如何经过这些城市是他所走的路线最短？
用图论的语言描述就是：给定一个权值为正数的赋权完全图，求各边权值和最小的哈密尔顿回路。
这个问题就是著名的旅行商问题（TSP,Traveling Salesman Problem）,TSP问题是NP问题，没有已知的多项式时间的高效算法可以解决之一问题。问题在1930年首次被形式化，并且是在最优化中研究最深入的问题之一，许多优化方法都用它作为一个基准，例如动态规划，最邻近法，插入法，模拟退火算法，遗传算法，神经网络算法等。
经典应用实例
印制电路板转孔
在一块电路板上打成百上千个孔，转头在这些孔之间移动，要求移动的距离之和最小。把这个问题转化为TSP，孔相当于城市．孔到孔之问的移动时间就是距离，转头的移动距离之和就是一次巡回的距离
生产安排
假设要在同一组机器上制造n种不同的产品，生产是周期性进行的，即在每一个生产周期这n种产品都要被制造。要生产这些产品有两种开销，一种是制造第i种产品时所耗费的资金（1≤i≤n），称为生产成本，另一种是这些机器由制造第i种产品变到制造第j种产品时所耗费的开支cij称为转换成本。显然，生产成本与生产顺序无关。于是，我们希望找到一种制造这些产品的顺序，使得制造这n种产品的转换成本和为最小。由于生产是周期进行的，因此在开始下一周期生产时也要开支转换成本，它等于由最后一种产品变到制造第一种产品的转换成本。于是，可以把这个问题看成是一个具有n个结点，边成本为cij图的货郎担问题。
代码实现
给定一个n个顶点组成的带权有向图的距离矩阵d(i,j)(INF表示没有边)。要求从顶点0出发，经过每个顶点恰好一次后再回到顶点0.问所经过的边的总权重的最少值是多少？(2≤n≤15),(0≤d(i,j)≤1000).
分析：
虽然TSP是NP困难的，不过在程序设计竞赛中还是有可能出现这种范围较小的题目。
所有可能的路线共有(n-1)! 种，这是一个非常大的值，即使在本题n已经很小，仍无法试遍每一种情况。对于这个问题，我们可以用DP来解决。
假设现在已经访问过的顶点的集合（起点0当作还未访问过的顶点）为S，当前所在的顶点为v，用d[S][v]表示从顶点v出发访问剩余的所有顶点，最终回到顶点0的路径的权重之和最小的路径。
已经访问过的集合S如何表示？由于S是有基数最大为n的集合，所以可以用n为二进制来表示集合，把每一个元素的选取与否对应到一个二进制位中，从而状态压缩成一个整数，像这种针对集合的DP我们一般叫做状态压缩DP。
时间复杂度O(2nn2)（2n * n种状态，每种状态有n种选择）。
代码：
1 #include<stdio.h> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 6 const int INF = 0x3f3f3f3f; 7 const int maxn = 15; 8 int n,m,G[maxn][maxn]; 9 int d[1 << maxn][maxn]; //记忆化搜索使用的数组 10 11 //已经访问过的节点集合为S，当前位置为v 12 //用d[S][v]从v出发访问剩余的所有顶点，最终回到顶点0的路径的权重总和的最小值 13 int dp(int S, int v) 14 { 15 int& ans = d[S][v]; 16 if (ans >= 0) return ans; //已经求出来了，直接返回 17 if (S == (1 << n) - 1 && v == 0) return ans = 0; //已经访问过所有节点并回到0号点 18 ans = INF; 19 for (int u = 0; u < n; u++) if ((!((S >> u) & 1)) && G[v][u]) 20 ans = min(ans, dp(S | (1 << u), u) + G[v][u]); 21 return ans; 22 } 23 24 void solve() 25 { 26 //memset(G, INF, sizeof(G)); 27 memset(d, -1, sizeof(d)); 28 printf("%d\n", dp(0, 0)); 29 } 30 int main() 31 { 32 int T; 33 scanf("%d", &T); 34 while (T--) 35 { 36 scanf("%d%d", &n,&m); 37 for (int i = 0; i < m; i++) 38 { 39 int u, v,w; 40 scanf("%d%d%d", &u, &v,&w); 41 G[u][v] = w; 42 } 43 solve(); 44 } 45 return 0; 46 }
对于不是整数的情况，很多时候很难确定一个适合的递推顺序，因此使用记忆化搜索可以避免这个问题。不过在这个问题中，对于任意两个整数i,j，如果它们对应的集合满足S(i) ⊆ S(j)，就有i ≤ j。所以这题还可以用循环求出答案。
1 #include<stdio.h> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 6 const int INF = 0x3f3f3f3f; 7 const int maxn = 15; 8 int n, m, G[maxn][maxn]; 9 int d[1 << maxn][maxn]; //记忆化搜索使用的数组 10 11 void solve() 12 { 13 //用足够大的值初始化数组 14 for (int S = 0; S < (1 << n); S++) 15 fill(d[S], d[S] + n, INF); 16 d[(1 << n) - 1][0] = 0; 17 18 //根据递推式依次计算 19 for (int S = (1 << n) - 2; S >= 0; S--) 20 for (int v = 0; v < n; v++) 21 for (int u = 0; u < n; u++) 22 if ((!(S >> u & 1)) && G[v][u]) 23 d[S][v] = min(d[S][v], d[S | 1 << u][u] + G[v][u]); 24 printf("%d\n", d[0][0]); 25 } 26 int main() 27 { 28 int T; 29 scanf("%d", &T); 30 while (T--) 31 { 32 scanf("%d%d", &n, &m); 33 for (int i = 0; i < m; i++) 34 { 35 int u, v, w; 36 scanf("%d%d%d", &u, &v, &w); 37 G[u][v] = w; 38 } 39 solve(); 40 } 41 return 0; 42 }
参考链接：
https://baike.baidu.com/item/NP完全问题/4934286?fr=aladdin
https://baike.baidu.com/item/旅行商问题/7737042?fr=aladdin
https://baike.baidu.com/item/%E8%B4%A7%E9%83%8E%E6%8B%85%E9%97%AE%E9%A2%98
