欧几里得算法和扩展欧几里得算法

一、欧几里得算法

也叫辗转相除法，关键在于这个恒等式：gcd(a,b) = gcd(b,a % b)，它的边界条件是gcd(a,0) = a.

这个虽然是递归，但非常高效，可以证明，gcd递归的层数不超过4.7851lgN + 1.6723,其中N = (a,b).

LL gcd(LL a, LL b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

二、扩展欧几里得算法

过程代码，证明如下（参百度百科）：

设 a>b

ax₁+ by₁= gcd(a,b);

bx₂+ (a mod b)y₂= gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);则:ax₁+ by₁= bx₂+ (a mod b)y₂;

即:ax₁+ by₁= bx₂+ (a - [a / b] * b)y₂=ay₂+ bx₂- [a / b] * by₂;

即ax₁+ by1 == ay₂+ b(x₂- [a / b] *y₂);

对比左右两边，得x₁=y₂; y₁=x₂- [a / b] *y₂;

这样我们就得到了求解 x₁,y₁ 的方法：x₁，y₁ 的值基于 x₂，y₂.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

//ax + by = d，且|x|+|y|最小，其中d=gcd(a,b)
 2 //即使a, b在int范围内，x和y也有可能超过int范围
void exgcd(ll a, ll b, ll &d, ll &x, ll &y)
{
 5     if (!b){ d = a; x = 1; y = 0;}
    else{ exgcd(b, a % b, d, y, x); y -= x * (a / b);}
}