木板切割问题（二）——动态规划

一、问题引入

有一根长度为L(L < 1000)的木棍，还有n(n < 50)个切割点的位置（按照从小到大排列）。你的任务是在这些切割点的位置处把棍子切成n+1份，使得总费用最小。每次切割的费用等于被切割的木棍长度。

二、问题分析

这个问题很像前面的栅栏维修（给定n个木棍的长度，切割点任意），这道题目相当于给定n+1个木棍的长度，且切割点固定。之前的贪心法就不能适用，因为用贪心法需要切割的点不一定是给定的切割点。我们必须换一种思路了。

n的规模非常小，可以考虑枚举切割点，但直接枚举所有的切割顺序肯定太大，可以考虑动态规划，枚举切割第一刀的位置。

设d(i,j)为切割小木棍i~j的最优费用，则d(i,j) = min{(d(i,k),d(k,j)) | i < k < j} + a[j] - a[i],其中a[j] - a[i]代表第一刀的费用。

注意，这里i,j都是表示切割点的位置，而不是木棍的序号，这样比较方便。

三、代码实现

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxl = 1000 + 10;
const int maxn = 50 + 10;
int L, n, cutp[maxn];
int d[maxn][maxn];    //d[i][j]表示切割小木棍i-->j的最小费用,i,j表示的是切割点，d[0][n + 1]为所求

void slove()
{
    for (int i = n + 1; i >= 0; i--)        //注意循环顺序，这里必须是从大到小
        for (int j = i; j <= n + 1; j++)    //这里必须从小到大，这个观察状态转移方程就可以了
        {
            d[i][j] = (i + 1 == j ? 0 : INF);
            for (int k = i + 1; k < j; k++)
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j] + cutp[j] - cutp[i]);
        }
    printf("The minimum cutting is %d.\n", d[0][n + 1]);
}

int main()
{
    while (scanf("%d", &L) == 1 && L)
    {
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d", &cutp[i]);

        //左边界编号为0，右边界为 n + 1
        cutp[0] = 0; cutp[n + 1] = L;

        slove();
    }
    return 0;
}

四、总结

这种解法，状态有O(n²),每种状态有O(n)个决策，时间复杂度为O(n³)。据说可以用四边形不等式优化到O(n²),以后会了再补充吧。