动态规划初步-单向STP

一、题目

给一个m行n列(m <= 10,n <= 100)的整数矩阵，从第一列任何位置出发每次往右、右下、右上走一格，最终达到最后一列。要求经过的整数之和最小。整个矩阵是环形的，即第一行的上一行是最后一行，最后一行的下一行是第一行。输路径上每一列的行号及路径上的整数和，多解时输出字典序最小的。

二、解题思路

我们按列考虑，从最后一列开始，每一列可以由前一列决定，设dp[i][j]表示由格子(i,j)到最后一列的最小开销。于是有dp[i][j] = max(dp[i][j + 1],dp[i - 1][j + 1],dp[i +1][j + 1])。把最后一列初始化为其本身，从右至左可得到每一列的情况，取第一列中的最小即可。由于要输出路径，用nextpos[i][j]记录在j+1列时选取的行坐标。字典序的处理见代码注释。

三、代码实现

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxm = 10 + 10;
const int maxn = 100 + 10;
int maze[maxm][maxn],dp[maxm][maxn];  //dp[i][j]表示从(i,j)出发到最后一列的最小值
int nextpos[maxn][maxn];            //nextpos[i][j]记录在j+1列时选取的行坐标
int m, n;

void slove()
{
    int ans = INF, first = 0;
    for (int j = n - 1; j >= 0; j--)                    //从右至左
    {
        for (int i = 0; i < m; i++)
        {
            if (j == n - 1)  dp[i][j] = maze[i][j];        //边界
            else
            {
                int rows[3] = {i,i - 1,i+1};
                if (i == 0) rows[1] = m - 1;    //注意考虑m = 1、2
                if (i == m - 1)  rows[2] = 0;
                sort(rows, rows + 3);            //保证字典序最小
                dp[i][j] = INF;
                for (int k = 0; k < 3; k++)
                {
                    int tmp = dp[rows[k]][j + 1] + maze[i][j];
                    if (tmp < dp[i][j])
                    {
                        dp[i][j] = tmp;
                        nextpos[i][j] = rows[k];    //dp更新，nextpos也会更新，这保证了nextpos记录的是最优路径
                    }
                }
            }
            if (j == 0 && dp[i][j] < ans)
            {
                ans = dp[i][j];
                first = i;
            }
        }    
    }

    printf("%d", first + 1);
    for (int i = nextpos[first][0],j = 1; j < n; j++)
    {
        printf(" %d", i + 1);
        i = nextpos[i][j];
    }
    printf("\n%d\n", ans);
}

int main()
{
    while (scanf("%d%d",&m,&n) == 2)
    {
        for (int i = 0; i < m; i++)
            for (int j = 0; j < n; j++)
                scanf("%d", &maze[i][j]);

        slove();
    }
    return 0;
}