初等数论初步——剩余类及其运算

一、概念

我们把所有与整数a模n同余的整数构成的集合叫做模n的一个剩余类，记作[a].并把a叫做剩余类[a]的一个代表元.

二、与同余的关系

　　　　　　　　　　　　

证明：对任意c∈[a],a≡c(mod n),又因为a≡b(mod n),所以b≡c(mod n),从而c∈[b].

同理，对任意c∈[b],也可得出c∈[a].所以[a] = [b].

另一方面，又剩余类的定义可知，如果[a] = [b],则a≡b(mod n).

三、剩余类的运算

剩余类加法：[a] + [b] = [a + b]

剩余类乘法：[a][b] = [ab]

剩余类环：如果模n的剩余类集合中定义了剩余类加法和剩余类乘法运算，就把它叫做模n的剩余类环，

　　　　　　记作：{[0],[1],[2]...[n-1];+,.}.

我们已经知道整数的加法、乘法满足交换律、结合律和分配律，剩余类的加法、乘法运算也满足交换律、结合律和分配律。

另外，在模n的剩余类环中，对任意的剩余类[a],恒有

　　[a] + [0] = [0] + [a] = [a]

　　[a][1] = [1][a] = [a]

　　[a][0] = [0][a] = [0]

这样，我们可以发现，[0]、[1]与整数集中的0、1有着相同的运算性质，我们分别把[0]和[1]叫做模n的剩余类环的零元和单位元。

同时，类比整数集中的相反数和倒数，我们引入模n的剩余类环的负元和逆元的概念。

四、负元和逆元

负元：

如果存在模n的剩余类[b]，使得

　　　　　　　　　　　[a] +[b] = [b] + [a] = [0]

那么称[b]为[a]的负元.

逆元：

如果存在模n的剩余类[b]，使得

　　　　　　　　　　　[a][b] = [b][a] = [1]

那么称剩余类[a]可逆,并把[b]称为[a]的逆元

五、逆元存在的条件

我们发现，并不是所有的剩余类都可逆，例如，模6的剩余类环中，[2]、[3]、[4]就不存在逆元。

什么情况下，一个模n的剩余类中的非零元[a]都有逆元?

非零元[a]有逆元的充要条件是(a,n) = 1

证明：

假设[b]为[a]的逆元

[a][b]=[b][a]=[1] <==> [ab]=[1] <==> ab≡1(mod n) <==> 存在整数t,使得ab + nt = 1

必要性：[a]有逆元[b],由上面的推论知，存在整数t,使得ab + nt = 1。而(a,n)|a、(a,n)|n <==> (a,n)|ab、(a,n)|nt <==> (a,n)|(ab + nt) 

即(a,n) | 1,所以(a,n) = 1.

充分性：(a,n) = 1 <==> 存在一对正整数b、t,使得ab + nt = 1

于是ab≡1(mod n) <==> [ab]=[1] <==> [a][b]=[b][a]=[1]

 

 

进一步探究，可知在模n的剩余类环中，若[a]存在逆元，则它的逆元有且仅有一个

证明：

[a]有两个逆元，分别是[b]、[c],则

　　[a][b]=[1]、[a][c]=[1] <==> ab≡1(mod n)、ac≡1(mod n) <==> n|ab -1、n|ac-1 <==> n|a(b-c)

　　[a]存在逆元 <==> (a,n) = 1

　　n|a(b-c) <==> n|(b-c) <==> b≡c(mod n)

　　由剩余类的定义可知，[b] = [c]

　　所以，若逆元存在，逆元有且仅有一个。