概率论与数理统计（二）—— 随机变量及其分布

独立重复试验

最最重要的一种，试验批次是独立的，且概率不变
其中最简单的一个是贝努力试验，只有两种独立重复结果的试验就叫贝努力试验

两点分布

只做一次贝努力试验，\(E = 1 \times p + 0 \times (1-p) = p\)

二项分布

N重贝努力试验，记\(B_k\)为n次中B出现k次的概率，\(P(B_k) ={n \choose k}p^k (1-p)^{n-k} , k = 0, 1,...n\)

$ b(k, n, p) = {n \choose k}p^k (1-p)^{n-k}$

之和为1，是一个二项式展开，因此叫二项分布

可见\(b(k, n, p)\) 是有最大值的，对应的项叫中心项，对应的k是最可能的成功次数

exp1:
N件中有M件次品，进行n次有放回抽样，抽到k见次品的概率p?
\(b(k; n, \frac{M}{N} )\)

exp2:
一大批原件中10%是坏的，现抽20个，求都是好的的概率p?
由于“一大批”，可以认为是独立重复试验
\(b(20; 20, 10\%) = 0.9^{20}\)

exp3:
每颗子弹命中目标的概率是0.01，现发射500次，则命中目标最可能是多少次，病求出相应的p
\(b(k; 500, 0.01)\)，根据二项分布的特点，取最大时 \(k = (n+1)p = 5\)

p感觉很难算

因此，二项分布的近似计算：

• n很大时，极限定理，中心极限定理
• 泊松分布近似

泊松分布

服从 $\lambda $ 的泊松分布
既然是一个分布，概率的和肯定要为1
其实就是\(e^x\) 的泰勒展开

作用：

• 作为二项分布的近似，且只有一个参数 \(\lambda\)
• 服从泊松分布的现象：...
• “基本分布”：用于构造其他分布的基本分布

在贝努力试验中，
以\(P_n\)表示 A 出现的概率（\(P_n\) 与 n 有关）
若\(np \to \lambda\)，则当 \(n \to \infty\) 时，$b(k; n, p) \to \frac{\lambda ^ k}{k!} e^{- \lambda } $
n大，p小，np 大小适中

实际情况中效果怎么样呢：很好
设三胞胎出生 \(p=10^{-4}\)，\(n=100000\)，计算\(k=0,1,2\)?
可以看出来非常接近

连续性随机变量

设随机变量Z的分布函数为F(x)，如果存在非负函数 f(x)，使得：$F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt $
则称Z为连续性随机变量，f(x)为Z的概率密度（函数）

常见的三种连续性随机性变量

均匀分布

\[p(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{b-a}, & a<x<b \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}\right. \]

指数分布

\[p(x)=\left\{\begin{array}{cc} 1 e^{-\lambda x}, & x>0 \\ 0, & x \leq 0 \end{array}\right. \]

Z服从参数为\(\lambda\)的指数分布
还有一种写法：

\[p(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{1}{\theta} x}, & x>0 \\ 0, & x \leq 0 \end{array}\right. \]

\(\theta\) 的含义后面会将

一个有趣的性质：

\[\begin{gathered} =\frac{P\{Z>s+t \cap Z>s\}}{P\{Z>s\}} \\ =\frac{P\{Z>s+t\}}{P\{Z>s\}} \\ =\frac{1-P\{Z \leq s+t\}}{1-P\{z \leq s\}}=\frac{1-F(s+t)}{1-F(s)} \\ =\frac{1-\left(1-e^{-\lambda(s + t)}\right)}{1-\left(1-e^{-\lambda s}\right)}=e^{-\lambda t} \\ =P\{z>t\} \end{gathered} \]

与X无关，之前发生的事情与后面无关，这种性质就做“无记忆性”
指数分布是唯一的具有无记忆性的连续型概率分布
例如：已经活了10岁，再活10岁的概率没变（永葆青春型）

正态分布

\[p(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}} \]

Z为服从参数\(\mu\) 和 \(\sigma\) 的正态分布
\(Z\sim N(0,1)\) 标准正态分布，也可以用\(\varphi(x)\) 表示

线性变换：
令 \(Y=\frac{Z-\mu}{\sigma}, Y \sim N(0,1)\)

随机变量的函数的分布

先求分布函数，再求概率密度函数

密度变换公式
设Z的概率密度函数为\(p(x)\)，\(y=f(x)\) 在(a, b) 上严格单调连续，且存在唯一的反函数 \(x=h(y)\)，且${h}'(y) $ 连续，则\(Y=f(Z)\) 也是连续型随机变量，其密度函数为：

\[p(y)=p(h(y))\left|h^{\prime}(y)\right| \]