哈密尔顿–凯莱定理
在线性代数中，哈密尔顿–凯莱定理（英语：Cayley–Hamilton theorem）表明每个布于任何交换环上的实或复方阵都满足其特征方程。
明确地说：设$A$为给定的$n \times n$矩阵，并设$I_n$为$n \times n$单位矩阵，则$A$的特征多项式定义为：
$f(\lambda) = det(\lambda I_n - A)$，其中$det$为行列式函数。
哈密尔顿-凯莱定理断言：$f(A) = O$
例如，
考虑下述方阵：
$A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right]$
其特征多项式为
$p(\lambda)=\left|\begin{array}{cc} \lambda-1 & -2 \\ -3 & \lambda-4 \end{array}\right|=(\lambda-1)(\lambda-4)-2 \cdot 3=\lambda^{2}-5 \lambda-2$
此时，可以直接验证哈密尔顿-凯莱定理：
$A^{2}-5 A-2 I_{2}=O$
可用来求$A^k$
其实，反过来，
设$A$为方阵，$f(A)=0 \Rightarrow f(\lambda ) = 0$.
例如，
$A^{2}-5 A-2 I_{2}=O$
$\because Ax = \lambda x$
$\because A^2x = A\lambda x = \lambda Ax = \lambda ^2 x$
$\therefore (A^{2}-5 A-2 I_{2})x = \lambda ^2x - 5\lambda x - 2x = (\lambda ^2 - 5\lambda -2)x$
$\because (\lambda ^2 - 5\lambda -2)x = 0, \ x \neq 0$
$\therefore \lambda ^2 - 5\lambda -2 = 0$
可用来求特征值
