根号2的根号2的根号2...次方次方
问题
求 $\displaystyle {\sqrt 2}^{{\sqrt 2}^{{\sqrt 2}^{\sqrt 2...}}}$.
分析
设 $\displaystyle {\sqrt 2}^{{\sqrt 2}^{{\sqrt 2}^{\sqrt 2...}}} = X$，
则 $X = {\sqrt 2}^X$，解得 $X=2$ 或 $X=4$.
那么是其中的哪一个呢？
考虑如下数列：
设 $A_0 = \sqrt 2$，$A_{n+1} = {\sqrt 2}^{A_n}$.
由数学归纳法，
$A_0 \leq 2$，设 $A_n \leq 2$，
$A_{n+1} = {\sqrt 2}^{A_n} \leq {\sqrt 2}^2 = 2$，所以 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}A_n \leq 2$.
因此 $\displaystyle {\sqrt 2}^{{\sqrt 2}^{{\sqrt 2}^{\sqrt 2...}}} = 2$.
当然，作为一名Coder，当然是打表了。
推广到$C^{C^{C...}}$
设 $C > 0$，同样得到方程 $X = C^X$。
分别作出 $y = x$ 和 $y = C^x$ 的图像，
若 $C < 1$，只有一个交点，此时必然收敛；
若 $C > 1$，临界点是两者相切，
易求切点为 $(e, e)$，此时 $C = e^\frac{1}{e}$.
因此有结论：当 $C \leq e^\frac{1}{e}$ 收敛，当 $C < e^\frac{1}{e}$ 不收敛。
数学上的通用记法
有一种记法为：
$$_{ }^{n}\textrm{a} = \underbrace{a^{a^{a^{a...}}}}_n$$
称为Tetration(迭代幂次)，即第四种运算的意思。也叫超级幂。
