代入法求递推式
先介绍一下几个定理
定理1：
设 $b$ 和 $d$ 是非负常数， $n$ 是2的幂，那么下面递推式
$$f(n) = \begin{cases}
d & n=1 \\
2f(n/2)+bnlog\ n & n \geq 2
\end{cases}$$
的解是 $f(n) = \Theta(n {{\log}^2n})$
引理1：
设 $a$ 和 $c$ 是非负整数，$b, d, x$ 是非负常数，并且对于某个非负整数 $k$，令 $n=c^k$，那么，下面递推式
$$f(n) = \begin{cases}
d & n=1 \\
af(n/c)+bn^x & n \geq 2
\end{cases}$$
的解是
$$f(n)= \begin{cases}
bn^xlog_cn + dn^x & a=c^x \\
(d + \frac{bc^x}{a-c^x})n^{log_ca} - (\frac{bc^x}{a-c^x})n^x & a \neq c^x
\end{cases}$$
特别地，当 $x=1$ 时，有
$$f(n)= \begin{cases}
bnlog_cn + dn & a=c \\
(d + \frac{bc}{a-c})n^{log_ca} - (\frac{bc}{a-c})n & a \neq c
\end{cases}$$
定理：
设 $a$ 和 $c$ 是非负整数，$b$ 和 $d$ 是非负常数，$n=c^k$，那么，下面递推式
$$f(n)= \begin{cases}
d & n=1 \\
af(n/c)+bn^x & n \geq 2
\end{cases}$$
的解是
$$f(n)= \begin{cases}
\Theta(n^x) & a < c^x\\
\Theta(n^xlog \ n) & a=c^x \\
\Theta (n^{log_ca}) & a>c^x
\end{cases}$$
特别地，如果 $x=1$，那么
$$f(n)= \begin{cases}
\Theta(n) & a < c\\
\Theta(nlog \ n) & a=c \\
\Theta (n^{log_ca}) & a>c
\end{cases}$$
代入法
这种方法通常用来证明上下界，也能用来证明精确解。
基本过程：
- 猜想一个解（例如，通过上面地定理）
- 再采取数学归纳法，初始解带有一个或多个常量，假设解对小规模成立；现要对大一点也成立，求出此时地常数 $c_I$
- 也就是说，对常数取 $c_i$ 时，解是正确地.
