求和的积分近似

令 $f(x)$ 是一个单调递减或单调递增的连续函数，现在来估计和式 $\sum_{j=1}^nf(j)$ 的值。

可以通过积分来近似求和，得出上下界如下：

如果 $f(x)$ 单调递减，那么有

$$\int_m^{n+1}f(x)dx \leq \sum_{j=m}^n f(j) \leq \int_{m-1}^nf(x)dx$$

如果 $f(x)$ 单调递增，那么有

$$\int_{m-1}^{n}f(x)dx \leq \sum_{j=m}^n f(j) \leq \int_{m}^{n+1}f(x)dx$$.

例子

1、求 $\displaystyle j^k,\ k\geq 1$.

解：由于 $j^k$ 是递增的，由上面的公式有

$$\int_0^nx^kdx \leq \sum_{j=1}^nj^k \leq \int_1^{n+1}x^kdx$$

即 $\frac{n^{k+1}}{k+1} \leq \sum_{j=1}^nj^k \leq \frac{(n+1)^{k+1}-1}{k+1}$.

由确界的定义，我们有 $\sum_{j=1}^k = \Theta (n^{k+1})$.

2、求调和级数 $H_n = \sum_{j=1}^n\frac{1}{j}$

解：同样由公式

上界：$\sum_{j=1}^n \frac{1}{j} = 1 + \sum_{j=2}^n \leq 1 + \int_{1}^n\frac{dx}{x} = 1 + ln\ n$，

下界：$\sum_{j=1}^n\frac{1}{j} \geq \int_1^{n+1}\frac{dx}{x} = ln(n+1)$.

由确界的定义，$H_n = \Theta(log\ n)$.

3、求级数 $\sum_{j=1}^nlog \ j$.

解：

上界：$\sum_{j=1}^n log \ j = log \ n + \int_{1}^nlog \ j \leq log \ n + nlog \ n - nlog\ e + log \ e$.

下界：$\sum_{j=1}^n log \ j= \sum_{j=2}^n log \ j \geq \int_{1}^n log \ xdx = nlog\ n - n log\ e + log\ e$.

由确界的定义有 $\sum_{j=1}^n log \ j = \Theta (nlog \ n)$.

如果对两边取指数，可得到阶乘的近似公式

$$e(\frac{n}{e})^n \leq n! \leq ne(\frac{n}{e})^n$$

这和String公式已经相当接近了。