51Node1228序列求和 ——自然数幂和模板&&伯努利数

伯努利数法

伯努利数原本就是处理等幂和的问题，可以推出

$$ \sum_{i=1}^{n}i^k={1\over{k+1}}\sum_{i=1}^{k+1}C_{k+1}^i*B_{k+1-i}*(n+1)^i $$

因为

$$\sum_{k=0}^nC_{n+1}^kB_k=0(B_0=1)$$

所以

$$ B_n={- {1\over{n+1}}}(C_{n+1}^0B_0+C_{n+1}^1B_1+……C_{n+1}^{n-1}B_{n-1})$$

伯努利数的证明十分复杂，记住即可。

题目

求 $\sum_{i=1}^ni^k \ mod \ (1e9+7)$，$i \leq 10^{18}, k \leq 2000, T \leq 2000$.

分析

直接用上面的公式，预处理伯努利数，时间为为 $O(k^2)$。

有 $O(klogk)$ 的方法求伯努利数，但是比较复杂，以后再学吧。

单次的时间只有 $O(k)$，$T$ 组查询不会超时。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
const int maxk = 2000 + 5;
ll n, k;

ll C[maxk][maxk], inv[maxk], B[maxk];
void init()
{
    //预处理组合数
    C[0][0] = 1;
    for(int i = 1;i < maxk;i++)
    {
        C[i][0] = 1;
        for(int j = 1;j <= i;j++)
            C[i][j] = (C[i-1][j-1] + C[i-1][j]) % mod;
    }
    //预处理逆元
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2;i < maxk;i++)
        inv[i] = (mod - mod/i) * inv[mod%i] % mod;
    //预处理伯努利数
    B[0] = 1;
    for(int i = 1;i < maxk-1;i++)
    {
        ll tmp = 0;
        for(int j = 0;j < i;j++)
            tmp = (tmp + C[i+1][j]*B[j]%mod) % mod;
        tmp = tmp * (-inv[i+1]) % mod;
        B[i] = (tmp + mod) % mod;
    }
}

ll pw[maxk];
ll cal()
{
    n %= mod;　　　　//想一想为什么可以这样做
    pw[0] = 1;
    for(int i = 1;i <= k+1;i++) pw[i] = pw[i-1] * (n+1) % mod;

    ll ret = 0;
    for(int i = 1;i <= k+1;i++)
        ret = (ret + C[k+1][i]*B[k+1-i]%mod*pw[i]%mod) % mod;
    ret = ret * inv[k+1] % mod;
    return ret;
}

int main()
{
    init();

    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld", &n, &k);
        printf("%lld\n", cal());
    }

    return 0;
}

 

 

参考链接：https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/38929067