BZOJ1101——莫比乌斯函数&&入门

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有$50000$次查询，对于给定的整数$a,b$和$d$，有多少正整数对$x$和$y$，满足$x \leq a$，$y \leq b$，并且$gcd(x, y)=d$。$1 \leq k \leq a,b \leq 50000$.

分析

    求有多少对$(x,y)$满足$x \leq a$，$y \leq b$，并且 $gcd(x, y)=d$，等价于求有多少对$(x, y)$满足$x \leq \frac{a}{d}, y \leq \frac{b}{d}$并且$x, y$互质.

     设$D(a, b, d)$表示满足$x \leq a, y \leq b$且$d | gcd(x, y)$的二元组的对数。显然只要$x, y$都是$d$的倍数即可。$1 \sim a$之间$d$的倍数有$\left \lfloor \frac{a}{d} \right \rfloor$个。故$D(a, b, d) = \left \lfloor \frac{a}{d} \right \rfloor \left \lfloor \frac{b}{d} \right \rfloor$.

    设$F(a, b)$ 表示满足$x \leq a$，$y \leq b$ 且 $x, y$互质的二元组的对数。根据容斥原理：

$$F(a,b)=\sum_{i=1}^{min(a,b)} \mu(i)*D(a,b,i)$$

    上式的意思是，没有任何限制的二元组总数为 $D(a, b, 1)=a*b$，应该减去$gcd(a, b)$是$2,3,5 \cdots$的倍数的二元组数量，这样又重复减掉了$gcd(a, b)$既是$2$的倍数、又是$3$的倍数的二元组数量，应该加回来。依此类推，$D(a, b, i)$的系数恰好就是莫比乌斯函数.

    由整除分块的知识，我们知道：$\forall i \in [x, min(\left \lfloor a/ \left \lfloor a/x \right \rfloor \right \rfloor), \left \lfloor b/\left \lfloor b/x \right \rfloor \right \rfloor]$，$D(a,b,i)=\left \lfloor a/i \right \rfloor\left \lfloor b/i \right \rfloor$ 的值都是相等的，预处理出莫比乌斯函数的前缀和，即可直接累加这一段的答案。这样的段只有$O(2\sqrt{min(a,b)})$个.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 50000 + 10;
int miu[maxn],vis[maxn], smiu[maxn];

void getmiu(int n)
{
    for(int i=1;i <= n;i++)  miu[i]=1, vis[i];
    for(int i=2;i <= n;i++)
    {
        if(vis[i])  continue;
        miu[i] = -1;    //i没有被访问，说明i是素数
        for(int j = 2*i; j <= n;j += i)
        {
            vis[j] = 1;
            if(j % (i*i) == 0)  miu[j] = 0;  //含有平方因子
            else  miu[j] *= -1;
        }
    }

    for(int i = 1;i <= n;i++)  smiu[i] = smiu[i-1] + miu[i];
}

int f(int a, int b)
{
    int ans = 0;
    for(int l=1, r; l <= min(a, b);l = r+1)
    {
        r = min(a / (a / l), b / (b / l));
        ans += (smiu[r] - smiu[l-1]) * (a/l) * (b/l);   //按段累加
        //printf("%d  %d\n", l, r);
    }
    printf("%d\n", ans);
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    getmiu(maxn);
    //for(int i=1; i <= 20;i++)  printf("%d\n", miu[i]);
    while(T--)
    {
        int a, b, k;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &k);
        f(a/k, b/k);
    }
    return 0;
}