卷积计算

    向量$a = (a_0, a_1, ..., a_{n-1})$和$b = (b_0, b_1, ..., b_{n-1})$

    $A(x) = a_0 + a1_x + a_2x^2 + ... + a_{n-1}x^{n-1} $
    $B(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + .. + b_{n-1}x^{n-1}   $
    $C(x) = A(x)B(x)  = a_0b_0 + (a_0b_1 + a_1b_0)x + ... + a_{n-1}b_{n-1}x^{2n-2} $

    卷积的分量就是$C(x)$的一个系数。卷积$a*b$计算等价于多项式相乘。

     如何快速的进行多项式求值呢？蛮力算法，对应项相乘，$O(n^2)$

计算2n-1次多项式$C(x)$

1. 选择值$x_0,x_1,..x_{2n-1}$，求出$A(x_j)$和$B(x_j)$，$j = 0,1,...,2n-1$
2. 对每个$j$计算$C(x_j) = A(x_j)B(x_j)$
3. 利用多项式插值法，由$C(x)$在$x = x_0 ,x_1, ..., x_{2n-1}$的值求出多项式$C(x)$的系数

    这三步最终做的是件什么事情呢？就是已知$A(x)$和$B(x)$求出它们的乘积$C(x)$。

    第一步主要是多项式求值，多项式插值法也能通过多项式求值实现（后面会讲），因此，这个算法的关键：一是如何选择$x_0,x_1,..x_{2n-1}$的值？使得后面可用使用插值的方法把多项式的系数求出来；二是找一个高效的多项式求值算法。

2n个数的选择：1的2n次根

$$
\begin{aligned}
\omega _j &= e^{\frac{2\pi j}{2n}i} = e^{\frac{\pi j}{n}i} \\
&= cos{\frac{\pi j}{n}} + i sin{\frac{\pi j}{n}}, \ j = 0,1,..,2n-1,\ i=\sqrt{-1} \\
\end{aligned}$$

$j$每取一个值得到一个根，这2n个根均匀的分布在单位圆上。

例如，$n=4$时的8个根分布如下：