SG函数入门&&HDU 1848

SG函数

sg[i]为0表示i节点先手必败。

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g(x)即sg[x]

例如：取石子问题，有1堆n个的石子，每次只能取{1,3,4}个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

sg[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1时，可以取走{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}=mex{0}，故sg[1]=1;

x=2时，可以取走{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}=mex{1}，故sg[2]=0；

x=3时，可以取走{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}=mex{0,0}，故sg[3]=1;

x=4时，可以取走{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}=mex{1,1,0},故sg[4]=2;

x=5时，可以取走{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}=mex{2,0,1},故sg[5]=3；

以此类推.....

   x         0  1  2  3  4  5  6  7  8....

sg[x]      0  1  0  1  2  3  2  0  1....

 

计算从1-n范围内的SG值。

f(存储可以走的步数，f[0]表示可以有多少种走法)

f[]需要从小到大排序

  1. 可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);
  2. 可选步数为任意步，SG(x) = x;
  3. 可选步数为一系列不连续的数，用GetSG()计算

 证明略（不会）

求SG值

1. 打表

//f[]: 可以取走的石子数量
//sg[]: 1~n的sg函数值
//vis[]: mex{}
void getSG(int n) {
    memset(sg, 0, sizeof(sg));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        for (int j = 0; f[j] <= i && j < maxm; j++)
            vis[sg[i - f[j]]] = 1;
        for (int j = 0;; j++) if (!vis[j]) {   //最小的未出现的正整数
            sg[i] = j;
            break;
        }
    }
}

2. 记忆化搜索

//记忆化搜索
//f[]: 从小到大排序
//sg[]: 初始化为-1
//maxm，石子个数，集合的最大数量
int dp(int x)
{
    if (sg[x] != -1)  return sg[x];
    bool vis[maxn];
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for (int i = 0; i < maxm; i++)
    {
        if (f[i] <= x)
        {
            dp(x - f[i]);
            vis[sg[x - f[i]]] = 1;
        }
    }
    for (int i = 0;; i++)
    {
        if (!vis[i])  return sg[x] = i;
    }
}

HDU 1848

  今天，又一个关于Fibonacci的题目出现了，它是一个小游戏，定义如下：
1、  这是一个二人游戏;
2、  一共有3堆石子，数量分别是m, n, p个；
3、  两人轮流走;
4、  每走一步可以选择任意一堆石子，然后取走f个；
5、  f只能是菲波那契数列中的元素（即每次只能取1，2，3，5，8…等数量）；
6、  最先取光所有石子的人为胜者；

假设双方都使用最优策略，请判断先手的人会赢还是后手的人会赢。

代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cmath>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int maxn = 1000 + 10;
 8 const int maxm = 20;        //石子个数
 9 
10 int f[maxm], sg[maxn];
11 bool vis[maxn];
12 //f[]: 可以取走的石子数量
13 //sg[]: 1~n的sg函数值
14 //vis[]: mex{}
15 void getSG(int n) {
16     memset(sg, 0, sizeof(sg));
17     for (int i = 1; i <= n; i++) {
18         memset(vis, 0, sizeof(vis));
19         for (int j = 0; f[j] <= i && j < maxm; j++)
20             vis[sg[i - f[j]]] = 1;
21         for (int j = 0;; j++) if (!vis[j]) {   //最小的未出现的正整数
22             sg[i] = j;
23             break;
24         }
25     }
26 }
27 
28 //记忆化搜索
29 //f[]: 从小到大排序
30 //sg[]: 初始化为-1
31 //maxm，石子个数，集合的最大数量
32 int dp(int x)
33 {
34     if (sg[x] != -1)  return sg[x];
35     bool vis[maxn];
36     memset(vis, 0, sizeof(vis));
37     for (int i = 0; i < maxm; i++)
38     {
39         if (f[i] <= x)
40         {
41             dp(x - f[i]);
42             vis[sg[x - f[i]]] = 1;
43         }
44     }
45     for (int i = 0;; i++)
46     {
47         if (!vis[i])  return sg[x] = i;
48     }
49 }
50 
51 
52 void init()
53 {
54     f[0] = f[1] = 1;
55     for (int i = 2; i < maxm; i++)
56         f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
57     memset(sg, -1, sizeof(sg));
58 }
59 
60 int m, n, p;
61 
62 int main()    
63 {
64     init();
65     //getSG(1000);
66     while (scanf("%d%d%d", &n, &m, &p) ==3 && n)
67     {
68         if (dp(m) ^ dp(n) ^ dp(p))  printf("Fibo\n");
69         else  printf("Nacci\n");
70     }
71     return 0;
72 }
View Code

 

 

参考链接：

1、https://blog.csdn.net/yizhangbiao/article/details/51992022

2、https://blog.csdn.net/strangedbly/article/details/51137432

posted @ 2019-04-06 22:48  Rogn  阅读(462)  评论(2)  编辑  收藏  举报