组合数学——错排公式

错排

$n$个有序的元素应有若一个排列$n!$个不同的排列，若一个排列使得所有的元素都不在原来的位置上，则称这个排列为错排，也叫重排。

例如：n个人写n封不同的信，打乱后每人随机从中那一封，则每个人均拿别人的信的种类数为？

证明

因此递推关系：

$$D_n = (n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}), \ D_1 = 0,D_2 = 1 \tag{1}$$

（证明的比较丑，意思一下啦_(:з」∠)_

当然这只是它的递推式，这是非常系数的递推，下面提供一种解法：

所以有

$$D_n = (1-1+\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots \pm \frac{1}{n!})n!$$