初等数论初步——费马小定理和欧拉定理的应用

例1.求$13^2004$除以17的余数.

分析：遇到有关带指数的被除数的问题，我们首先考虑运用同余、互素以及费马小定理或欧拉定理，降次使被除数变小，进而求出余数。

容易直到17为素数，且(13, 17)=1，由费马小定理可知

$$13^{17-1} = 13^{16} \equiv 1 (mod \ 17)$$

又因为$2004=16*125+4$，  所以

$$13^{2004} = 13^{16 \times 125 + 4} \equiv {13}^{4}(mod \ 17)$$

而${13}^4={169}^2={(170-1)}^2\equiv {(-1)}^2=1(mod \  17)$，

因此$13^{2004} \equiv 1(mod \ 17)$，即$13^{2004}$除以17的余数为1.

 

例2.求使$5^m \equiv 1(mod \ 21)$成立的最小正整数$m$.

分析：这个式子与欧拉定理的形式相似，且(5, 12)=1，φ(21)容易求出，我们考虑使用欧拉定理.因

为(5, 12)=1，且φ(21)=12（即1~20中与21互素的有12个），由欧拉定理有

$$5^{12} \equiv 1(mod \ 21)$$

显然$m\leq {12}$，令$12=mq+r$，其中$0\leq r\leq m$，则有

$$5^{12}=5^{mq+r}=(5^m)^q \times 5^r$$，

所以$5^r\equiv 1(mod \ 21)$，由于m是使同余式成立的最少正整数，所以r=0，从而$m | 12$，检验12的正因数1，2，3，4，6，12，我们发现

$$5^{1} \equiv 5(mod \ 21),\\5^{2} \equiv 4(mod \ 21),\\ 5^{3} \equiv 20(mod \ 21),\\ 5^{4} \equiv 16(mod \ 21), \\ 5^{5} \equiv 1(mod \ 21)$$

因此，最小正整数m为6.