数论——斯特林数&&贝尔数 - 随笔分类 - Rogn

摘要：题意给定一个有

n

$n$ 个结点的树，设

S (i)

$S(i)$ 为第

i

$i$ 个结点的“指标值”，定义为

S (i) = \sum_{i = 1}^{n} d i s t (i, j)^{k}

$S(i)=\sum_{i=1}^{n}dist(i,j)^k$ ，

d i s t (i, j)

$dist(i, j)$ 为结点

i

$i$ 到结点

j

$j$ 的最小距离。请输出每个结点的指标值。($n \leq 5000, k \leq 阅读全文

posted @ 2019-09-21 19:49 Rogn 阅读(202) 评论(0) 推荐(0) 编辑

hdu3625

摘要：hdu3625 题意：酒店发生一起谋杀案。作为镇上最好的侦探，您应该立即检查酒店的所有N个房间。但是，房间的所有门都是锁着的，钥匙刚锁在房间里，真是个陷阱！您知道每个房间里只有一把钥匙，并且所有可能的分配可能性均等。例如，如果N = 3，则有6种可能的分布，每种分布的概率为1/6。为方便起见，我们阅读全文

posted @ 2019-09-21 15:31 Rogn 阅读(316) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Stirling数入门

摘要：第一类Stirling数定义

\begin{aligned} (x)_{n} & = x (x - 1) . . . (x - n + 1) \\ = s (n, 0) + s (n, 1) x + . . + s (n, n) x^{n} \end{aligned}

$\begin{aligned}(x)_n & =x(x-1)...(x-n+1)\\&= s(n, 0) + s(n,1)x +..+s(n,n)x^n\\\end{aligned}$ 例如，

n = 3

$n=3$ 时，

(x) 3 = x (x - 1) (x - 2)

$(x)3 = x(x-1)(x-2)$ $(x)3 阅读全文

posted @ 2019-09-21 14:32 Rogn 阅读(668) 评论(0) 推荐(0) 编辑

自然数幂和——第一类Stirling数和第二类Stirling数

摘要：第一类Stirling数首先设

S_{k} (n) = \sum_{i = 0}^{n} i^{k}

$S_k(n)=\sum_{i=0}^ni^k$ 根据第一类斯特林数的定义（P是排列数，C是组合数,s是Stirling）

C_{n}^{k} = \frac{P_{n}^{k}}{k!} = \frac{\sum_{i = 0}^{k} (- 1)^{i + k} s (k, i) n^{i}}{k!}

$C_n^k={P_n^k\over k!}={\sum_{i=0}^k(-1)^{i+k}s(k,i)n^i\over k!}$ 变阅读全文

posted @ 2019-09-21 09:43 Rogn 阅读(1005) 评论(0) 推荐(0) 编辑

51Node1228序列求和 ——自然数幂和模板&&伯努利数

摘要：伯努利数法伯努利数原本就是处理等幂和的问题，可以推出

\sum_{i = 1}^{n} i^{k} = \frac{1}{k + 1} \sum_{i = 1}^{k + 1} C_{k + 1}^{i} * B_{k + 1 - i} * (n + 1)^{i}

$\sum_{i=1}^{n}i^k={1\over{k+1}}\sum_{i=1}^{k+1}C_{k+1}^i*B_{k+1-i}*(n+1)^i$ 因为

\sum_{k = 0}^{n} C_{n + 1}^{k} B_{k} = 0 (B_{0} = 1)

$\sum_{k=0}^nC_{n+1}^kB_k=0(B_0=1)$ 阅读全文

posted @ 2019-09-20 21:50 Rogn 阅读(394) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Bell数入门

摘要：贝尔数贝尔数是以埃里克·坦普尔·贝尔命名，是组合数学中的一组整数数列，开首是（OEIS的A000110数列）：

B_{0} = 1, B_{1} = 1, B_{2} = 2, B_{3} = 5, B_{4} = 15, B_{5} = 52, B_{6} = 203, . . .

$B_0 = 1, B_1 = 1, B_2 = 2, B_3 = 5, B_4 = 15, B_5 = 52, B_6 = 203, ...$

B_{n}

$B_n$ 的含义是基数为

n

$n$ 阅读全文

posted @ 2019-09-19 14:49 Rogn 阅读(3272) 评论(0) 推荐(0) 编辑

hdu2643&&hdu2512——斯特林数&&贝尔数

摘要：hdu2643 题意：

n

$n$ 个人的排名情况数（

n \leq 100

$n \leq 100$ ）分析：考虑

n

$n$ 个有区别的球放到

m

$m$ 个有区别的盒子里、无空盒的方案数为

m! \cdot S (n, m)

$m!\cdot S(n, m)$ 。这题中

m

$m$ 可取

1 \sim n

$1 \sim n$ （可能排名相同），累加即可。 #include<bits/st 阅读全文

posted @ 2019-09-19 11:23 Rogn 阅读(254) 评论(0) 推荐(0) 编辑

hdu4767 Bell——求第n项贝尔数

摘要：题意设第

n

$n$ 个Bell数为

B_{n}

$B_n$ ，求

B_{n} m o d 95041567

$B_n \ mod \ 95041567$ .（

1 \leq n \leq 2^{31}

$1 \leq n \leq 2^{31}$ ）分析贝尔数的概念和性质，维基百科上有，这里用到两点。若

p

$p$ 是任意素数，有

B_{p + n} = B_{n} + B_{n + 1} (m o d p)

$B_{p+n} = B_n + B_{n+1}(mod \ p)$ 阅读全文

posted @ 2019-09-18 23:25 Rogn 阅读(876) 评论(0) 推荐(0) 编辑

自然数幂和的若干种解法

摘要：差分法我们令

S_{t} (n) = \sum_{k = 0}^{n} k^{t}

$S_t(n) = \displaystyle \sum_{k=0}^n k^t$ ，易得

S_{t} (n) + (n + 1)^{t} = \sum_{k = 0}^{n} (k + 1)^{t}

$S_t(n) + (n+1)^t = \displaystyle \sum_{k=0}^n(k+1)^t$ ，可以用二项式定理化简为 $\displaystyle \sum_{k=0}^n \ 阅读全文

posted @ 2019-07-15 15:24 Rogn 阅读(1214) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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