随笔分类 - 数论——斯特林数&&贝尔数
摘要：题意 给定一个有 $n$ 个结点的树，设 $S(i)$ 为第 $i$ 个结点的“指标值”，定义为 $S(i)=\sum_{i=1}^{n}dist(i,j)^k$，$dist(i, j)$ 为结点 $i$ 到结点 $j$ 的最小距离。请输出每个结点的指标值。($n \leq 5000, k \leq
阅读全文
摘要：hdu3625 题意： 酒店发生一起谋杀案。作为镇上最好的侦探，您应该立即检查酒店的所有N个房间。但是，房间的所有门都是锁着的，钥匙刚锁在房间里，真是个陷阱！您知道每个房间里只有一把钥匙，并且所有可能的分配可能性均等。例如，如果N = 3，则有6种可能的分布，每种分布的概率为1/6。为方便起见，我们
阅读全文
摘要：第一类Stirling数 定义 $$\begin{aligned}(x)_n & =x(x-1)...(x-n+1)\\&= s(n, 0) + s(n,1)x +..+s(n,n)x^n\\\end{aligned}$$ 例如，$n=3$ 时， $(x)3 = x(x-1)(x-2)$ $(x)3
阅读全文
摘要：第一类Stirling数 首先设 $$S_k(n)=\sum_{i=0}^ni^k$$ 根据第一类斯特林数的定义（P是排列数，C是组合数,s是Stirling） $$C_n^k={P_n^k\over k!}={\sum_{i=0}^k(-1)^{i+k}s(k,i)n^i\over k!}$$ 变
阅读全文
摘要：伯努利数法 伯努利数原本就是处理等幂和的问题，可以推出 $$ \sum_{i=1}^{n}i^k={1\over{k+1}}\sum_{i=1}^{k+1}C_{k+1}^i*B_{k+1-i}*(n+1)^i $$ 因为 $$\sum_{k=0}^nC_{n+1}^kB_k=0(B_0=1)$$
阅读全文
摘要：贝尔数 贝尔数是以埃里克·坦普尔·贝尔命名，是组合数学中的一组整数数列，开首是（OEIS的A000110数列）： $$B_0 = 1, B_1 = 1, B_2 = 2, B_3 = 5, B_4 = 15, B_5 = 52, B_6 = 203, ...$$ $B_n$ 的含义是基数为 $n$
阅读全文
摘要：hdu2643 题意：$n$ 个人的排名情况数（$n \leq 100$） 分析：考虑 $n$ 个有区别的球放到 $m$ 个有区别的盒子里、无空盒的方案数为 $m!\cdot S(n, m)$。 这题中 $m$ 可取 $1 \sim n$（可能排名相同），累加即可。 #include<bits/st
阅读全文
摘要：题意 设第 $n$ 个Bell数为 $B_n$，求 $B_n \ mod \ 95041567$.（$1 \leq n \leq 2^{31}$） 分析 贝尔数的概念和性质，维基百科上有，这里用到两点。 若 $p$ 是任意素数，有 $B_{p+n} = B_n + B_{n+1}(mod \ p)$
阅读全文
摘要：差分法 我们令 $S_t(n) = \displaystyle \sum_{k=0}^n k^t$，易得 $S_t(n) + (n+1)^t = \displaystyle \sum_{k=0}^n(k+1)^t$ ，可以用二项式定理化简为 $\displaystyle \sum_{k=0}^n \
阅读全文