数论——二次剩余&&循环节 - 随笔分类 - Rogn

摘要：定义：设

m

$m$ 是正整数若同余式

x^{2} \equiv a (m o d p), (a, p) = 1

$x^2 \equiv a(mod \ p),\ (a, p)=1$ 有解，则

a

$a$ 叫做模

p

$p$ 的二次剩余（或平方剩余）；否则，

a

$a$ 叫做模

p

$p$ 的二次非剩余。欧拉判别条件：设方程 $$x^2 \equiv a (mod \ p), \ \ 阅读全文

posted @ 2019-09-12 15:04 Rogn 阅读(2868) 评论(0) 推荐(0) 编辑

幂方程（模意义下）

摘要：问题求解

x^{a} \equiv b (m o d p)

$x^a\equiv b(mod \ p)$ 其中

p

$p$ 为质数分析由于

p

$p$ 为质数，肯定存在原根

g

$g$ 。由原根的定义知

x

$x$ 可表示成

x = g^{c}

$x=g^c$ ，问题转化为

(g^{c})^{a} \equiv b (m o d p)

$(g^c)^a \equiv b(mod \ p)$ ，得到 $$(g^a)^c \equiv b(m 阅读全文

posted @ 2019-09-11 23:15 Rogn 阅读(562) 评论(0) 推荐(0) 编辑

求原根

摘要：原根为了简单起见，只考虑素数的情况。（并不是只有素数才有原根定义：对于素数

p

$p$ ，如果存在一个正整数

1 < a < p

$1<a<p$ ，使得

a^{1}, a^{2}, . . ., a^{p - 1}

$a^1, a^2, ..., a^{p-1}$ 模

p

$p$ 的值取遍

1, 2, . . ., p - 1

$1,2,...,p-1$ 的所有整数，称

a

$a$ 是

p

$p$ 的一个原根（primitive r 阅读全文

posted @ 2019-09-11 22:10 Rogn 阅读(2789) 评论(0) 推荐(1) 编辑

ZOJ-3774 Power of Fibonacci——等比数列求和&&等价替换

摘要：题目求

\sum_{i = 1}^{n} F_{i}^{k}

$\displaystyle \sum_{i=1}^n F_i^k$ ，（

1 \leq n \leq 10^{18}, 1 \leq k \leq 10^{5}

$1 \leq n\leq 10^{18},1 \leq k\leq 10^5$ ），答案对

10^{9} + 9

$10^9+9$ 取模。分析将通项公式 $fib_i = \frac{1}{\sqrt{5}} ((\frac{1 + \ 阅读全文

posted @ 2019-08-16 19:56 Rogn 阅读(350) 评论(0) 推荐(0) 编辑

2019牛客暑期多校训练营（第九场）The power of Fibonacci——循环节&&CRT

摘要：题意求

\sum_{i = 1}^{n} F_{i}^{m}

$\displaystyle \sum_{i=1}^n F_i^m$ ，（

1 \leq n \leq 10^{9}, 1 \leq m \leq 10^{3}

$1 \leq n\leq 10^9,1 \leq m\leq 10^3$ ），答案对

10^{9}

$10^9$ 取模。分析显然，斐波那契数列在模意义下是有循环节的。模

10^{9}

$10^9$ 本身的循环节为

150000000

$150000000$ ，阅读全文

posted @ 2019-08-16 17:48 Rogn 阅读(376) 评论(0) 推荐(0) 编辑

2019牛客暑期多校训练营（第九场）Quadratic equation——二次剩余（模奇素数）&&Cipolla算法

摘要：题意给定模

p = 1000000007

$p = 1000000007$ 和

b, c

$b,c$ ，求

x

$x$ 和

y

$y$ （

0 \leq x \leq y < p

$0\leq x\leq y< p$ ），其中

x

$x$ 和

y

$y$ 满足，

(x + y) m o d p = b

$(x + y) mod \ p = b$

(x * y) m o d p = c

$(x * y) mod \ p = c$ 分析根据模的性质，可化成 $(2x-b)^2 \ 阅读全文

posted @ 2019-08-16 15:32 Rogn 阅读(288) 评论(0) 推荐(0) 编辑

1~n中数字0~9出现的次数

摘要：题意：rt 分析：当然不可能去遍历，应该寻找统计的方法。如计算 78501 中 "5" 出现的次数。我们可以枚举“5”出现的位置，如当“5”位于倒数第2位时，写成 xxx5x，由于5大于0，前面只能取0~784，后面无限制为10；如当“5”位于倒数第3位时，写成xx5xx，由于5等于5，前阅读全文

posted @ 2019-08-15 10:04 Rogn 阅读(856) 评论(0) 推荐(0) 编辑

HDU 5451——递推式&&循环节

摘要：题意设

y = (5 + 2 \sqrt{6})^{1 + 2^{x}}

$y = (5+2\sqrt 6)^{1+2^x}$ ，给出

x, M

$x, M$ （

0 \leq x \leq 2^{32}, M \leq 46337

$0\leq x \leq 2^{32}, M \leq 46337$ ），求

[y] % M

$[y]\%M$ . 分析由通项推递推式？？设 $A_n = (5 + 2\sqrt 6)^n, B_n = (5 - 2\sqrt 6 阅读全文

posted @ 2019-08-03 10:55 Rogn 阅读(327) 评论(0) 推荐(0) 编辑

2019牛客多校第五场 generator 1——广义斐波那契循环节&&矩阵快速幂

摘要：理论部分二次剩余在数论中，整数

X

$X$ 对整数

p

$p$ 的二次剩余是指

X^{2}

$X^2$ 除以

p

$p$ 的余数。当存在某个

X

$X$ ，使得式子

X^{2} \equiv d (m o d p)

$X^2 \equiv d(mod \ p)$ 成立时，称“

d

$d$ 是模

p

$p$ 的二次剩余” 当对任意

X

$X$ ，$X^2 \equiv d(mod \ p 阅读全文

posted @ 2019-08-02 23:44 Rogn 阅读(444) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Rogn

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