随笔分类 - 数论——二次剩余&&循环节
摘要：定义：设 $m$ 是正整数 若同余式 $$x^2 \equiv a(mod \ p),\ (a, p)=1$$ 有解，则 $a$ 叫做模 $p$ 的二次剩余（或平方剩余）；否则，$a$ 叫做模 $p$ 的二次非剩余。 欧拉判别条件： 设方程 $$x^2 \equiv a (mod \ p), \ \
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摘要：问题 求解 $$x^a\equiv b(mod \ p)$$ 其中 $p$ 为质数 分析 由于 $p$ 为质数，肯定存在原根 $g$。 由原根的定义知 $x$ 可表示成 $x=g^c$，问题转化为 $(g^c)^a \equiv b(mod \ p)$，得到 $$(g^a)^c \equiv b(m
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摘要：原根 为了简单起见，只考虑素数的情况。（并不是只有素数才有原根 定义：对于素数 $p$，如果存在一个正整数 $1<a<p$，使得 $a^1, a^2, ..., a^{p-1}$ 模 $p$ 的值取遍 $1,2,...,p-1$ 的所有整数，称 $a$ 是 $p$ 的一个原根（primitive r
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摘要：题目 求 $\displaystyle \sum_{i=1}^n F_i^k$，（$1 \leq n\leq 10^{18},1 \leq k\leq 10^5$），答案对 $10^9+9$ 取模。 分析 将通项公式 $fib_i = \frac{1}{\sqrt{5}} ((\frac{1 + \
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摘要：题意 求 $\displaystyle \sum_{i=1}^n F_i^m $，（$1 \leq n\leq 10^9,1 \leq m\leq 10^3$），答案对 $10^9$ 取模。 分析 显然，斐波那契数列在模意义下是有循环节的。 模 $10^9$ 本身的循环节为 $150000000$，
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摘要：题意 给定模 $p = 1000000007$ 和 $b,c$，求 $x$ 和 $y$（$0\leq x\leq y< p$），其中 $x$ 和 $y$ 满足， $(x + y) mod \ p = b$ $(x * y) mod \ p = c$ 分析 根据模的性质，可化成 $(2x-b)^2 \
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摘要：题意：rt 分析： 当然不可能去遍历，应该寻找统计的方法。 如计算 78501 中 "5" 出现的次数。 我们可以枚举“5”出现的位置， 如当“5”位于倒数第2位时，写成 xxx5x，由于5大于0，前面只能取0~784，后面无限制为10； 如当“5”位于倒数第3位时，写成xx5xx，由于5等于5，前
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摘要：题意 设 $y = (5+2\sqrt 6)^{1+2^x}$，给出 $x, M$（$0\leq x \leq 2^{32}, M \leq 46337$），求 $[y]\%M$. 分析 由通项推递推式？？ 设 $A_n = (5 + 2\sqrt 6)^n, B_n = (5 - 2\sqrt 6
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摘要：理论部分 二次剩余 在数论中，整数 $X$ 对整数 $p$ 的二次剩余是指 $X^2$ 除以 $p$ 的余数。 当存在某个 $X$，使得式子 $X^2 \equiv d(mod \ p)$ 成立时，称“ $d$ 是模 $p$ 的二次剩余” 当对任意 $X$，$X^2 \equiv d(mod \ p
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