随笔分类 - 数论——概率&&期望
摘要：题意 题目链接 Bobo有一个 $n+m$ 个节点的有向图，编号分别为 $1 \sim n$，他还有一个 $n$ 行 $n+m$ 列的矩阵 $P$。 如果在 $t$ 时刻他位于节点 $u(1 \leq u \leq n)$，那么在 $(t+1)$ 时刻他在节点 $v$ 的概率为 $P_{u,v}/1
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摘要：题意 在 n * m 的平面上有若干个袋鼠和墙（1为袋鼠，0为墙），每次可以把所有袋鼠整体往一个方向移动一步（不能走出边界和不能走到墙），为在不超过50000步的情况下能否把全部袋鼠聚集在同一个位置。（类似于2048游戏） 分析 看到网上的题解惊了， 不知道这样做为什么能A，但是写起来真的简单。 参
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摘要：题意 求一个含有 $n$ 个结点的有序二叉树的叶子节点的期望个数。（$n \leq 10^9$） 分析 一堆推导..... 得 $ans = \frac{n(n+1)}{2(2n-1)}$ BZOJ一直WA，还以为是double的精度问题。 建议去洛谷交(链接)，BZOJ上(链接)似乎没有SPJ，只
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摘要：题意 给出一个整数 $N$，每次可以在不超过 $N$ 的素数中等概率随机选择一个 $P$，如果 $P$ 是 $N$ 的约数，则把 $N$ 变成 $N/P$，否则 $N$ 不变。问平均情况下需要多少次随机选择，才能把 $N$ 变成1呢？ 分析 本题可以画出一个状态转移图， 例如 $n=6$ 时， $n
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摘要：题意 一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。 小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。 现在，请你对这M条边进行编号，
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摘要：题目 有一个 $N \times M$ 大小的格子，从(0, 0)出发，每一步朝着上下左右4个格子中可以移动的格子等概率移动。另外有些格子有石头，因此无法移至这些格子。求第一次到达 $(N-1, M-1)$ 格子的期望步数。（$2 \leq N,M\leq 10$） 分析 设 $E(x, y)$ 表
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摘要：题意 给出一个程序控制流图，从每个结点出发到每个后继接结点的概率均相等。当执行完一个没有后继的结点后，整个程序终止。程序总是从编号为1的结点开始。你的任务是对于若干个查询结点，求出每个结点的期望执行次数。结点个数 $n < 10$. 分析 如果是有向无环图，可以直接解出递推关系，再采用记忆化搜索求解
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摘要：题意 从数字 $0$ 除法，每次向前走 $i$ 步，$i$ 是 $1 \sim K$ 中等概率随机的一个数，也就是说概率都是 $\frac{1}{K}$。求落在过数字 $N$ 额概率，$N=-1$ 表示无穷远。 分析 设落在过 $i$ 的概率为 $p_i$，则 $p_i = \frac{1}{K}p
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摘要：问题一 证明：一根1米长的绳子，随机切成 $N$ 刀，变成（$N+1$）根绳子，则最短的一根绳子长度的期望为 $\displaystyle \frac{1}{(N+1)^2}$. 证： 引理：当分成 $n$ 段时，第一段的长度至少为 $x$ 的概率为 $(1-x)^{n-1}$. 很容易理解，因为第
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摘要：题意 总共有 $n$ 层楼，在第 $i$ 层花费 $a_i$ 的代价，有 $pi$ 的概率到 $i+1$ 层，否则到 $x_i$($x_i \leq 1$) 层。接下来有 $q$ 次询问，每次询问 $l$ 层到 $j$ 层的期望代价。 分析 这种期望具有可加性，因此，维护一个前缀和 $sum[i]$
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