随笔分类 - 数论——莫比乌斯反演

摘要：证：

a > b

$a > b$ 且

g c d (a, b) = 1

$gcd(a,b)=1$ ，有

g c d (a^{n} - b^{n}, a^{m} - b^{m}) = a^{g c d (n, m)} - b^{g c d (n, m)}

$gcd(a^n-b^n, a^m-b^m) = a^{gcd(n, m)} - b^{gcd(n,m)}$ . 证明：假设

n > m

$n > m$ ，

r = n % m

$r = n \% m$ . 根据辗转相除法， $a^n - b^n = (a^m-b^m)(a^{n-m 阅读全文

posted @ 2019-08-25 21:05 Rogn 阅读(474) 评论(0) 推荐(1) 编辑

2018 南京网络预赛Sum ——莫比乌斯反演

摘要：题意设

f (n)

$f(n)$ 为

n = a b

$n=ab$ 的方案数，其中

a, b

$a,b$ 为无平方因子数。求

\sum_{i = 1}^{n} f (i)

$\displaystyle \sum_{i=1}^nf(i)$ ，

n \leq 2 e 7

$n \leq 2e7$ 。分析显然，可发现

f = μ^{2} * μ^{2}

$f = \mu ^2 * \mu ^2$ . 即 $\displaystyle f(n) = \ 阅读全文

posted @ 2019-08-20 12:17 Rogn 阅读(374) 评论(0) 推荐(0) 编辑

一个莫比乌斯等式的证明

摘要：证：

\sum_{i = 1}^{n} μ (i)^{2} = \sum_{i = 1}^{⌊ \sqrt{n} ⌋} μ (i) ⌊ \frac{n}{i^{2}} ⌋

$\displaystyle \sum_{i=1}^n \mu (i)^2 = \sum_{i=1}^{\left \lfloor \sqrt n \right \rfloor}\mu (i)\left \lfloor \frac{n}{i^2} \right \rfloor$ ，其中 $\mu 阅读全文

posted @ 2019-08-19 22:40 Rogn 阅读(332) 评论(0) 推荐(0) 编辑

BZOJ2301——莫比乌斯&&整除分块

摘要：题目对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。分析莫比乌斯经典入门题。（我也刚学，就写一下阅读全文

posted @ 2019-08-06 17:52 Rogn 阅读(262) 评论(0) 推荐(0) 编辑

莫比乌斯函数介绍&&基础

摘要：定义设正整数

N

$N$ 按照算术基本定理分解质因数为

N = p_{1}^{c_{1}} p_{2}^{c_{2}} \dots P_{m}^{c_{m}}

$N=p_1^{c_1}p_2^{c_2} \cdots P_m^{c_m}$ ，定义函数： $$\mu(N)= \left\{\begin{matrix}0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ c_i \geq 1 \\ 1 \ \ 阅读全文

posted @ 2019-07-12 11:40 Rogn 阅读(1196) 评论(0) 推荐(0) 编辑

BZOJ1101——莫比乌斯函数&&入门

摘要：题目链接有

50000

$50000$ 次查询，对于给定的整数

a, b

$a,b$ 和

d

$d$ ，有多少正整数对

x

$x$ 和

y

$y$ ，满足

x \leq a

$x \leq a$ ，

y \leq b

$y \leq b$ ，并且

g c d (x, y) = d

$gcd(x, y)=d$ 。

1 \leq k \leq a, b \leq 50000

$1 \leq k \leq a,b \leq 50000$ . 分析求有多少对

(x, y)

$(x,y)$ 满足

x \leq a

$x \leq a$ ，阅读全文

posted @ 2019-07-12 10:54 Rogn 阅读(369) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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