随笔分类 - 数学基础
摘要：2002年印度数学家Manindra Agrawal, Neeraj Kayal，Nitin Saxena 给出了一个是否为素数的判别准则。 $$(x-a)^p \equiv (x^p-a)(mod \ p)$$ 证： $\because (x-a)^p = x^p + \sum_{i=1}^{p-
阅读全文
摘要：题目 将 $n$（$1 < n \leq 10^{18}$）质因数分解，求质因数幂的最小值。 分析 直接质因数分解，不太行。 可以这样想，对小区间质因数分解，n变小了，再枚举答案。 打印1-10000之间的素数表然后质因数分解，分解完剩下的那个数， 两种质数（肯定大于 $10^4$）相乘，最多二次，
阅读全文
摘要：题意： 用 $A(n)$ 表示第 $n$ 个只由1组成分整数，现给定一个素数 $p$，求满足 $1 \leq i\leq n, 1 \leq j \leq m, A(i^j) \equiv 0(mod \ p)$ 的 $(i, j)$ 对数。 分析： $11...11 = \frac{10^n-1}
阅读全文
摘要：剩余系 通俗的说，模n的完全剩余类系就是${0,1,2, \cdots ,n-1}$，而简化剩余类（也称缩系）就是完全剩余类系中与n互素的那些元素。 比如n=12时，缩系中只有4个元素：1,5,7,11。模n的完全剩余类系中最常见的写法是$Z/nZ$，也可以写成$Z/n$或者$Z_n$。为了简单，这
阅读全文
摘要：费马小定理 设m为素数，a为任意整数，且$(a, m)=1$，则$a^{m-1} \equiv 1(mod \ m)$. 证明： 构造一个群$G<{[1],[2], \cdots, [m-1]}, \equiv *>$，下证这是一个群. 封闭性:对任意[i]、[j]，假如不封闭，因为集合是除[0]外
阅读全文
摘要：转载自https://blog.csdn.net/weixin_37517391/article/details/83821752 题解 其实这题不难,只要想到了前缀和差分就基本OK了. 我们要求的是第$i$项的式子: $F(i)=(a_1+a_2+...+a_i)^k+(a_2+...+a_i)^
阅读全文
摘要：题目 题目：Lunar New Year and Number Division 题目大意：给定一个数字序列，可以任意分组（可调整顺序），但每组至少两个，求每组内数字和的平方的最小值 思路 首先，易证两两分组是最好的。 其次，我们假设将序列${a_i}$分成序列${b_i}$和${c_i}$,所以
阅读全文
摘要：一、加法、减法、乘法取模 二、大整数取模 求n mod m 的值，(n ≤10100,m ≤109) 思路：首先，将大整数根据秦九韶公式写成“自左向右”的形式：4351 = ((4 * 10 + 3) * 10 + 5) * 10 + 1,然后利用模的性质，逐步取模。 三、幂取模 直接暴力写是O(n
阅读全文
摘要：一、欧几里得算法 也叫辗转相除法，关键在于这个恒等式：gcd(a,b) = gcd(b,a % b)，它的边界条件是gcd(a,0) = a. 这个虽然是递归，但非常高效，可以证明，gcd递归的层数不超过4.7851lgN + 1.6723,其中N = (a,b). 二、扩展欧几里得算法 过程代码，
阅读全文
摘要：一、n的欧拉phi函数值 思路：需要用试除法依次判断√n内的素数，这样需要先生成√n内的素数表，但其实不必这么麻烦：只需要每次找到一个素因数之后把它“除尽”，即可保证找到的因数都是素数（假如当前找到的因素不是素数，则存在更小的因数，与“除尽“矛盾） O(√n) 二、1~n中所有数的欧拉phi函数值
阅读全文
摘要：快速幂($m^n$)： 快速乘($mn$)： 我觉得有必要换掉这个“龟速乘” //不会爆long long 全部组合($C_i^j \% P,1\leq i\leq maxn,0\leq j\leq i$) 部分组合($C_n^0,C_n^1,\cdots,C_n^n$) 单个组合($C_n^m$)
阅读全文