随笔分类 - 课程——初等数论初步
主要是我在阅读高中数学A版选修4-6初等数学初步时，一些笔记和体会。
摘要：前言 约在2000多年以前，我国古代数学著作《孙子算经》中提出了著名的“物不知其数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”答曰：“二十三”。 我国历史上还有很多人研究过这类问题，人们将这一类问题进一步发展和推广，并称之为“孙子定理”，在国外文献和教科书中称为“
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摘要：一次同余方程 前面已经提到，剩余类可以看作一个特殊的“数”，剩余类环可以看作定义了剩余类加法和乘法的“数集”.类似于实数集情形，我们也可以在剩余类环中解方程或方程组。 例如，在模6的剩余类环中解方程[5][x]=3，这里[x]是模6的剩余类环中的未知剩余类，注意到 $$[5][x] = [3]\Le
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摘要：费马小定理 设m为素数，a为任意整数，且$(a, m)=1$，则$a^{m-1} \equiv 1(mod \ m)$. 证明： 构造一个群$G<{[1],[2], \cdots, [m-1]}, \equiv *>$，下证这是一个群. 封闭性:对任意[i]、[j]，假如不封闭，因为集合是除[0]外
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摘要：例1.求$13^2004$除以17的余数. 分析：遇到有关带指数的被除数的问题，我们首先考虑运用同余、互素以及费马小定理或欧拉定理，降次使被除数变小，进而求出余数。 容易直到17为素数，且(13, 17)=1，由费马小定理可知 $$13^{17-1} = 13^{16} \equiv 1 (mod
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摘要：一、一次同余式的概念 通常，我们把含有未知数的同余式叫做同余式方程。 一类形式最简单的同余方程是一次同余方程，一般形式为ax≡b(mod n),其中n为正整数，a,b为整数且a不为0. 二、一次同余方程的解的情况 1、是否有解 2、有多少解 3、有解的情况下如何描述解 1º 先讨论特殊情况，即(a,
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摘要：一、有关剩余类 定义1：从模n的每个剩余类中各取一个代表元，得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个剩余类。 定义2：用φ(n)表示从1,2,...,n中与n互素的整数的个数。 定义3：从模n的每个互素剩余类中各取一个代表元，得到一个由φ(n)个元素组成的集合，叫做模n的简化剩余类。 定理1：设n
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摘要：欧拉定理和费马小定理有许多重要的应用，常见的我们可以用它来化简计算 费马小定理是欧拉定理的特例 一、费马小定理 证明： 由(a,m) = 1,知m不是a的素因数；又因为m不是1、2、3...m-1的素因数，所以a，2a，3a...(m-1)a都不能被m整除 又因为a，2a，3a...(m-1)a两两
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摘要：一、概念 我们把所有与整数a模n同余的整数构成的集合叫做模n的一个剩余类，记作[a].并把a叫做剩余类[a]的一个代表元. 二、与同余的关系 证明：对任意c∈[a],a≡c(mod n),又因为a≡b(mod n),所以b≡c(mod n),从而c∈[b]. 同理，对任意c∈[b],也可得出c∈[a
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摘要：一、概念 一般地，设n为正整数，a、b为整数，如果a和b被n除后余数相同，那么称a和b模n同余，记作a≡b(mod n）。如果a和b被n除后余数不同，那么称a和b模n不同余。 二、同余与整除的关系 设a、b被n除后商分别为q、q',余数分别为r、r'，则 a = nq + r b = nq' + r
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摘要：算数基本定理 任何大于1的整数都可以分解成素因数乘积的形式，并且，如果不计分解式中素因数的次序，这种分解式是唯一的 1）证明： 存在性：对于大于1的整数你，如果n不是素数，我们可以将n分解成一个素数和某个大于1的整数a的乘积；如果a是素数,则过程停止，如果a不是素数，又可以将a分解成一个素数和某个大
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摘要：一、定义 定义：给定两个整数a，b,必有公共的因数，叫做它们的公因数，当a,b不全部为0时，在有限个公因数中最大的那个叫做a、b的最大公因数，记作(a,b) 二、一种方法——辗转相除法 描述：设a,b为任意两个整数，且b不为0，应用带余除法，以b除a,得到商q1,余数r1；如果余数r1不为0，以r1
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