聚类算法——K-means（上）

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聚类算法——K-means（上）

 　　首先要来了解的一个概念就是聚类，简单地说就是把相似的东西分到一组，同 Classification (分类)不同，对于一个 classifier ，通常需要你告诉它“这个东西被分为某某类”这样一些例子，理想情况下，一个 classifier 会从它得到的训练集中进行“学习”，从而具备对未知数据进行分类的能力，这种提供训练数据的过程通常叫做 supervised learning (监督学习)，而在聚类的时候，我们并不关心某一类是什么，我们需要实现的目标只是把相似的东西聚到一起，因此，一个聚类算法通常只需要知道如何计算相似 度就可以开始工作了，因此 clustering 通常并不需要使用训练数据进行学习，这在 Machine Learning 中被称作 unsupervised learning (无监督学习)。

我们经常接触到的聚类分析，一般都是数值聚类，一种常见的做法是同时提取 N 种特征，将它们放在一起组成一个 N 维向量，从而得到一个从原始数据集合到 N 维向量空间的映射——你总是需要显式地或者隐式地完成这样一个过程，然后基于某种规则进行分类，在该规则下，同组分类具有最大的相似性。

假设我们提取到原始数据的集合为(x₁, x₂, …, x_n)，并且每个xi为d维的向量，K-means聚类的目的就是，在给定分类组数k（k ≤ n）值的条件下，将原始数据分成k类 
S = {S₁, S₂, …, S_k}，在数值模型上，即对以下表达式求最小值：

这里μ_i 表示分类S_i 的平均值。

那么在计算机编程中，其又是如何实现的呢？其算法步骤一般如下：

1、从D中随机取k个元素，作为k个簇的各自的中心。

2、分别计算剩下的元素到k个簇中心的相异度，将这些元素分别划归到相异度最低的簇。

3、根据聚类结果，重新计算k个簇各自的中心，计算方法是取簇中所有元素各自维度的算术平均数。

4、将D中全部元素按照新的中心重新聚类。

5、重复第4步，直到聚类结果不再变化。

6、将结果输出。

用数学表达式来说，

设我们一共有 N 个数据点需要分为 K 个 cluster ，k-means 要做的就是最小化

这个函数，其中 在数据点 n 被归类到 cluster k 的时候为 1 ，否则为 0 。直接寻找 和 来最小化 并不容易，不过我们可以采取迭代的办法：先固定 ，选择最优的 ，很容易看出，只要将数据点归类到离他最近的那个中心就能保证 最小。下一步则固定 ，再求最优的 。将 对 求导并令导数等于零，很容易得到 最小的时候 应该满足：

亦即 的值应当是所有 cluster k 中的数据点的平均值。由于每一次迭代都是取到 的最小值，因此 只会不断地减小（或者不变），而不会增加，这保证了 k-means 最终会到达一个极小值。虽然 k-means 并不能保证总是能得到全局最优解，但是对于这样的问题，像 k-means 这种复杂度的算法，这样的结果已经是很不错的了。

首先 3 个中心点被随机初始化，所有的数据点都还没有进行聚类，默认全部都标记为红色，如下图所示：

然后进入第一次迭代：按照初始的中心点位置为每个数据点着上颜色，重新计算 3 个中心点，结果如下图所示：

可以看到，由于初始的中心点是随机选的，这样得出来的结果并不是很好，接下来是下一次迭代的结果：

可以看到大致形状已经出来了。再经过两次迭代之后，基本上就收敛了，最终结果如下：

不过正如前面所说的那样 k-means 也并不是万能的，虽然许多时候都能收敛到一个比较好的结果，但是也有运气不好的时候会收敛到一个让人不满意的局部最优解，例如选用下面这几个初始中心点：

最终会收敛到这样的结果：

整体来讲，K-means算法的聚类思想比较简单明了，并且聚类效果也还算可以，算是一种简单高效应用广泛的 clustering 方法，接下来，我将讨论其代码实现过程。