P4321随机man游题解

传送门

题意概要

给你一个无向图，求随机游走将 $n$ 个终点全部走一遍的期望步数。

题解

首先图上随机游走肯定是要高消的，但只想到这一点对思路提醒不大。

注意到点数 $\le 18$ 容易想到状压 dp，$d{p}_{i,j}$表示已走的点集为 $i$ ，将剩余的点从 $j$ 出发都走一遍的期望步数，最后从起点开始除了终点全都走过的期望步数就是答案。

易得转移（其中 $i{n}_i$ 表示 $i$ 的入度，$d$ 为与 $u$ 相连的点的集合。）：

$$d{p}_{i,j}=\frac{1}{i{n}_i}\sum _{v\in d}d{p}_{i\cup v)}+1$$

注意到这么搞枚举状态有 $n{2}^n$ 种，加上高斯消元求解直接就死了🤯。

于是注意到 $i\cup v$ 绝对包含 $i$，遂考虑将状态分层，枚举点集后只对当前的点集高消，复杂度优化至 $O(2^n{n}^3)$ ，可以通过。

代码

还有细节不懂可以看注释。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int mod=998244353;
int n,m,q,all/*全集*/,tot,in[30]/*入度*/,head[30],dp[1110101][30],a[30][30]；
int dfn[30],p[30];//dfs序
struct jiegoutiming{//链式前向星 
	int nxt,to;
}e[888];
void add(int u,int v){
	in[v]++;
	e[++tot].to=v;
	e[tot].nxt=head[u];
	head[u]=tot;
	return;
}

int qpow(int x,int y){//快速幂 
	int aaa=1;
	while(y){
		if(y&1){
			aaa=aaa*x%mod;
		}
		x=x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return aaa;
}
void gaosi(int n,int S){
	for(int i=1;i<=n;i++){//高消板子 
		int u=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			u=a[j][i]>a[u][i]?j:u;
		}
		for(int j=1;j<=n+1;j++){
			swap(a[i][j],a[u][j]);
		}
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(i^j){
				int t=a[j][i]*qpow(a[i][i],mod-2)%mod;
				for(int k=i+1;k<=n+1;k++){
					a[j][k]=((a[j][k]+mod-t*a[i][k]%mod)%mod+mod)%mod;
				}
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){//更新答案 
		dp[S][p[i]]=a[i][n+1]*qpow(a[i][i],mod-2)%mod;
	}
}
void dfs(int nn,int S,int dep,int lst){
	if(dep>nn){
		for(int i=1;i<=nn;i++){
			for(int j=1;j<=nn+1;j++){
				a[i][j]=0;
			}
		}
		int tot=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(S&(1<<(i-1))){
				dfn[i]=++tot;
				p[tot]=i;
			}
		}
		for(int i=1;i<=nn;i++){//处理方程 
			a[i][i]=a[i][nn+1]=mod-1;
			int ni=qpow(in[p[i]],mod-2);
			for(int j=head[p[i]];j;j=e[j].nxt){
				int v=e[j].to;
				if(S&(1<<(v-1))){
					a[i][dfn[v]]=ni;
				}
				else{
					a[i][nn+1]=((a[i][nn+1]+mod-dp[S|(1<<(v-1))][v]*ni%mod)%mod+mod)%mod;
				}
			}
		}
		return gaosi(nn,S);
	}
	for(int i=lst+1;i<=n;i++){
		dfs(nn,S^(1<<(i-1)),dep+1,i);
	}
}
signed main(){
	cin>>n>>m;
	all=(1<<n)-1;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		add(u,v);
		add(v,u);
	}
	cin>>q;
	for(int i=n-1;i>0;i--){
		dfs(i,0,1,0);
	}
	while(q--){
		int x,S=0,y,z;
		cin>>x;
		for(int i=1;i<=x;i++){
			cin>>y;
			S|=(1<<(y-1));
		}
		cin>>z;
		cout<<dp[(all^S)|(1<<(z-1))][z]<<endl;//如果起点是终点之一要直接排除，否则不合法 
	}
	return 0;
}