对均的应用

• 对数均值不等式：

  $$\forall x_1,x_2>0,x_1\neq x_2\\ \frac{x_1+x_2}{2}>\frac{x_1-x_2}{\ln{x_1}-\ln{x_2}}$$

  或为

  $$\begin{align} &\ln{x}<\frac{2(x-1)}{x+1},x\in(0,1)\\ &\ln{x}>\frac{2(x-1)}{x+1},x\in(1,+\infin) \end{align}$$

  证明易。

• 基本应用

  设 $f(x)=\frac{\ln{x}}{x}$，设 $x_1,x_2$ 满足 $x_1\neq x_2,f(x_1)=f(x_2)=m$ ，求证：$x_1x_2>e^2$

  证：

  $$\ln{x_1}=mx_1\\ \ln{x_2}=mx_2\\ \frac{x_1-x_2}{\ln{x_1}-\ln{x_2}}=\frac{1}{m}<\frac{x_1+x_2}{2}\\ \ln{x_1}+\ln{x_2}=m(x_1+x_2)>2\\ x_1x_2>e^2$$

• 第一个拓展

  设 $f(x)=x-\ln{x}$ ，设 $x_1,x_2$ 满足 $x_1< x_2,f(x_1)=f(x_2)=m$，求证： $x_1+x_2>m+1$

  证：

  $$f'(x)=1-\frac{1}{x}\to x_1<1<x_2\\ x_1-m=\ln{x_1}<\frac{2(x_1-1)}{x_1+1}\\ x_2-m=\ln{x_2}>\frac{2(x_2-1)}{x_2+1}\\ x_1^2-(m+1)x_1-m+2<0\\ x_2^2-(m+1)x_2-m+2>0\\ (x_2-x_1)(x_1+x_2-m-1)>0\\ x_1+x_2>m+1\\ $$

• 第二个拓展

  设 $f(x)=\frac{\ln{x}}{x}$，设 $x_1,x_2$ 满足 $x_1< x_2,f(x_1)=f(x_2)=m$ ，求证：$x_1x_2>\frac{e}{m}$

  证：

  $$f'(x)=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\to m<f(e)=\frac{1}{e}\\ f(\frac{1}{m})=m\ln{\frac{1}{m}}>m\\ x_1<\frac{1}{m}<x_2\\ mx_1-\ln{\frac{1}{m}}=\ln{x_1}-\ln{\frac{1}{m}}<\frac{2(mx_1-1)}{mx_1+1}\\ mx_2-\ln{\frac{1}{m}}=\ln{x_2}-\ln{\frac{1}{m}}>\frac{2(mx_2-1)}{mx_2+1}\\ (mx_1)^2-(1+\ln{\frac{1}{m}})mx_1-\ln{\frac{1}{m}}+2<0\\ (mx_2)^2-(1+\ln{\frac{1}{m}})mx_2-\ln{\frac{1}{m}}+2>0\\ (mx_2-mx_1)(mx_1+mx_2-1-\ln{\frac{1}{m}})>0\\ \ln{x_1}+\ln{x_2}=m(x_1+x_2)>1+\ln{\frac{1}{m}}\\ x_1x_2>\frac{e}{m}$$

• 第三个拓展

  设 $f(x)=x-\ln{x}$ ，设 $x_1,x_2$ 满足 $x_1< x_2,f(x_1)=f(x_2)=m$，求证： $x_1+x_2>m+2-\frac{\ln{m}+1}{m}$

  有以上铺垫，相信人人都会，于是证明从略。