ARC143 F Counting Subsets

• 题意

  给定正整数 $n$，求有多少 $\{1,2,\dots ,n\}$ 的子集 $S$ 满足任意一个 $1$ 到 $n$ 的整数都能被表示成 $S$ 的子集和，且方案数小于等于 $2$。

  对 $998244353$ 取模。

  $n\le 1500$

• 题解

  一看到这个，就想到 AHOI 的山河重整，但做法完全不同。

  考虑用背包判定 $S$ 合法性的过程，设背包的 $\text{dp}$ 数组为 $f$，从 $0$ 开始。

  每加入一个数相当于是将 $f$ 平移若干位然后对位相加。

  这启发我们考虑第一次出现有一个数方案数为 $2$ 的情况，这相当于枚举第一个不是 $2$ 的次幂的数，设为 $a$。

  在加入 $a$ 后，我们的 $f$ 应该形如 $a$ 个 $1$，若干个 $2$ ，$a$ 个 $1$。

  忽略首尾的 $1$，我们发现接下来每次操作相当于把 $f$ 复制一遍，并在两段中间插入一个长为 $a\sim 2a$ 的连续段。

  这是一个满二叉树结构，每个点为一个连续段，因此我们可以考虑再枚举这棵树总长度第一次大于等于 $n$ 时的节点数。

  注意到一个问题：我们只对 $1\sim n$ 的数有所限制，大于 $n$ 的数是无所谓的。

  那么我们求的就不是合法树个数，而是每个合法情况下，$n$ 和前面第一个 $2$ 的距离和。

  如果直接 $\text{dp}$，每次加一个根，我可能只会一个复杂度很高的算法（如果有会的求指教）。

  我们考虑继续枚举一个二叉树上的点 $x$，满足恰好 $\text{dfs}$ 序小于等于它的点的长度和大于等于 $n$。

  这样我们就确定了每一层的点选的个数，逐层 $\text{dp}$ 是容易的，最后算贡献需要一些分类讨论。

  我们来算一下复杂度。

  对于每一个 $a$，我们枚举的点 $x$ 的个数是 $\Theta(n/a)$ 的，对于一个 $x$，$\text{dp}$ 复杂度是 $\Theta(n\log \frac{n}{a})$ 的，总复杂度 $\Theta(n^2\log^2 n)$。