ARC143 F Counting Subsets

• 题意

  给定正整数 \(n\)，求有多少 \(\{1,2,\dots ,n\}\) 的子集 \(S\) 满足任意一个 \(1\) 到 \(n\) 的整数都能被表示成 \(S\) 的子集和，且方案数小于等于 \(2\)。

  对 \(998244353\) 取模。

  \(n\le 1500\)

• 题解

  一看到这个，就想到 AHOI 的山河重整，但做法完全不同。

  考虑用背包判定 \(S\) 合法性的过程，设背包的 \(\text{dp}\) 数组为 \(f\)，从 \(0\) 开始。

  每加入一个数相当于是将 \(f\) 平移若干位然后对位相加。

  这启发我们考虑第一次出现有一个数方案数为 \(2\) 的情况，这相当于枚举第一个不是 \(2\) 的次幂的数，设为 \(a\)。

  在加入 \(a\) 后，我们的 \(f\) 应该形如 \(a\) 个 \(1\)，若干个 \(2\) ，\(a\) 个 \(1\)。

  忽略首尾的 \(1\)，我们发现接下来每次操作相当于把 \(f\) 复制一遍，并在两段中间插入一个长为 \(a\sim 2a\) 的连续段。

  这是一个满二叉树结构，每个点为一个连续段，因此我们可以考虑再枚举这棵树总长度第一次大于等于 \(n\) 时的节点数。

  注意到一个问题：我们只对 \(1\sim n\) 的数有所限制，大于 \(n\) 的数是无所谓的。

  那么我们求的就不是合法树个数，而是每个合法情况下，\(n\) 和前面第一个 \(2\) 的距离和。

  如果直接 \(\text{dp}\)，每次加一个根，我可能只会一个复杂度很高的算法（如果有会的求指教）。

  我们考虑继续枚举一个二叉树上的点 \(x\)，满足恰好 \(\text{dfs}\) 序小于等于它的点的长度和大于等于 \(n\)。

  这样我们就确定了每一层的点选的个数，逐层 \(\text{dp}\) 是容易的，最后算贡献需要一些分类讨论。

  我们来算一下复杂度。

  对于每一个 \(a\)，我们枚举的点 \(x\) 的个数是 \(\Theta(n/a)\) 的，对于一个 \(x\)，\(\text{dp}\) 复杂度是 \(\Theta(n\log \frac{n}{a})\) 的，总复杂度 \(\Theta(n^2\log^2 n)\)。