CF1707 F Bugaboo

• 题意

  对于长为 $n$ 的数组 $a$，定义一次变换为 $a'_i=a_i\oplus a_{(i\ \bmod\ n)+1}$，$\oplus$ 为异或操作。

  定义一个长为 $n$ 的数组 $c$ 合法，当且仅当存在一个数组 $a$ 可以通过 $t$ 次变换变为 $c$。

  现在给定 $n,t,q,w$。

  数组 $c$ 初始全为 $-1$ 。

  $q$ 次操作，每次修改 $c$ 中一个位置的值，并给出一个 $mod$，询问有多少种将 $-1$ 替换成 $[0,2^w)$ 中的数的方案满足 $c$ 是合法的，对 $mod$ 取模。

  $n\le 10^7,t\le 10^9,w\le 30,q\le 2\times 10^5,11\le mod\le 10^9+7$。

• 题解

  从简单的想起，如果给定一个 $c$，如何判断合法。

  显然能操作一次当且仅当 $c$ 的异或和为 $0$。

  将操作逆过来，等价于在 $c$ 开头插入任意一个数，并把最后一个数舍去，然后做前缀异或。

  因此考虑一个位置 $i$ 对操作 $j$ 次的异或和的影响，容易发现为 $\binom{n-i}{j}$。

  因此将数组 $\text{reverse}$ 。

  有贡献当且仅当在二进制下 $j\sube i$。

  令 $L$ 为 $n$ 的 $\text{lowbit}$。

  而 $n$ 这个位置是我们任意填的，所以当 $j=L$ 时，$j+1$ 一定合法。

  那么容易归纳出当 $t\le L$ 行时 $t> L$ 一定行。

  所以现在 $t\le L$。

  可能还是没有什么用，我们继续手玩一下。

  $t=1$ 平凡。

  $t=2$ 时我们发现要满足 $c_1\oplus c_3\dots\oplus c_{n-1}=0$。

  $t=3$ 比较奇怪。

  $t=4$ 时我们发现其等价于满足 $\bigoplus_k c_{r+4k}=0\ (0\le r<4)$。

  因此我们合理猜测当 $t=2^a$ 时，我们就是要满足 $\bigoplus_k c_{r+2^ak}=0\ (0\le r<2^a)$。

  从 $2^a-1$ 往下不断递推，不难证明。

  现在 $t\neq 2^a$，考虑 $t$ 的二进制分解中最大的，设为 $2^b$ 。

  首先我们还是要满足 $\bigoplus_k c_{r+2^bk}=0\ (0\le r<2^b)$。

  考虑到大于 $2^b$ 的部分，我们将数分为两组，分别为 $c_{r+2^{b+1}k},c_{r+2^b+2^{b+1}k}$。

  令 $d_r=\bigoplus_k c_{r+2^{b+1}k},e_r=\bigoplus_k c_{r+2^b+2^{b+1}k}$。

  那么就是 $d_r\oplus e_r=0$，也就是 $d_r=e_r$。

  然后我们可以发现问题可以变为关于数组 $e$ 和 $t'=t-2^b$ 的子问题。

  这样我们可以建立一个二叉树结构，一个点的权要么为左右儿子的异或和，要么等于左右儿子并要求左右儿子相等，树高是 $O(\log n)$ 。

  考虑如何计数，可以暴力设 $f_{i,j}$ 表示树上节点 $i$，点权为 $j$ 的方案数，转移是容易的。

  这样还是不能回答询问，但我们容易观察并归纳出对于一个 $i$，$f_{i,j}$ 一定是全相等或恰有一个数不为 $0$ ，并且值一定是 $0$ 或 $(2^w)^x$ 的形式，因此维护哪个位置有值和 $x$ 就可以了。

  这样询问就可以直接把从叶子到根路径上的 $f$ 都暴力修改然后回答。

  复杂度 $O(n+q\log n)$。

  跟官方题解有一定区别，但是本质上只是把从上往下建树变成了从下往上建树，有些地方可能不是特别自然。