[PE 741] Binary grid colouring

• 题意

  计数在 $n\times n$ 的网格上染色，使得每行每列恰有 $2$ 个黑色格子的方案数。

  旋转或翻转同构算一种，模 $10^9+7$。

  $n\le 2\times 10^7$

• 题解

  先考虑没有同构怎么做。

  考虑一张左右各 $n$ 个点的完全二分图，现在就是要求环覆盖方案数。

  那么答案就是将右侧点划分成若干环的方案数乘上 $n!$ 。

  设环和答案分别为 $G(x),F(x)$ 。

  有：

  $$\begin{align} G(x)&=\sum_{i\ge 2}\frac{x^i}{2i}\\ &= -\frac{1}{2}\ln(1-x)-\frac{x}{2}\\ F(x)&=e^{G(x)}\\ F'(x)&=e^{G(x)}G'(x)\\ F’(x)& =F(x)\frac{x}{2(1-x)}\\ nf_n&=(n-1)f_{n-1}+\frac{1}{2}f_{n-2} \end{align}$$

  然后利用 $\text{Burnside}$，考虑群 $D_8$ 的其余 $7$ 个元素。

  1. 上下或左右翻转

     这是容易的。

  2. 沿对角线翻转

     将 $l_i$ 和 $r_i$ 合并，那么就是每个点度数为 $1/2$ 的图的个数。

     那么

     $$\begin{align} G(x)&=\sum_{i\ge 3}\frac{(i+1)x^i}{2i}+\frac{x^2}{2} \\ &=-\frac{1}{2}\ln(1-x)+\frac{x^3}{2(1-x)}+\frac{x^2}{4}-\frac{x}{2}\\ F'(x)&=F(x)\frac{-x^3+2x}{2(1-x)^2}\\ nf_n&=2(n-1)f_{n-1}-(n-3)f_{n-2}-\frac{1}{2}f_{n-4}\\ \end{align}$$

  3. 旋转 $\pi$

     这部分较为复杂，还是一样地考虑，但是要奇偶讨论一下

     • $2\mid n$

       $$\begin{align} G(x)&=\sum_{i\ge 2}\frac{x^i}{2i}+\frac{x}{4}\\ &=-\frac{1}{2}\ln(1-x)-\frac{x}{4}\\ F'(x)&=F(x)\frac{x+1}{4(1-x)}\\ nf_n&=(n-1)f_{n-1}+\frac{1}{4}(f_{n-1}+f_{n-2}) \end{align}$$

     • $2\nmid n$

       可以发现此时就是求一个前缀和。

  4. 旋转 $\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}$

     容易说明 $2\nmid n$ 无解，剩下的同理，最后是：

     $$nf_n=(2n-1)f_{n-1}-f_{n-2}+2f_{n-3}$$

  这样将所有的贡献算出来就好了，复杂度 $O(n)$ 。

  注意到所有的贡献都是整式递推，所以理论最优为 $O(\sqrt{n}\log n)$ 。