[Ynoi2019] 魔法少女网站

• 题意

  给定一个长为 $n$ 的序列 $\{a\}$ ，支持：

  1. 单点修改。
  2. 查询区间 $[l,r]$ 最大值小于等于 $x$ 的子区间个数。

  $n,m\le 3\times 10^5,a_i\in [1,n]$

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• 题解

  容易发现，对于查询操作，我们如果把 $\le x$ 的数设为 $1$ ，其余为 $0$ ，那么一个长为 $len$ 的极长 $1$ 连续段的贡献为 $\frac{len(len+1)}{2}$ 。

  那么暴力即为从左到右模拟整个过程，维护后缀 $1$ 连续段的长度。

  考虑优化这个模拟过程，不难想到序列分块。

  设块长为 $B$ ，那么一个块内本质不同的答案只有 $O(B)$ 个。

  对于查询区间 $[l,r]$ ，边角暴力。对于中间的块，我们需要维护 $\le x$ 的 $1$ 连续段前缀长度，后缀长度，以及除去前后缀的块内贡献。

  如果我们对每个块，从小到大处理每个元素，利用链表或并查集等维护 $1$ 连续段，能做到一次 $O(B)$ 求出一个块所有本质不同的答案。

  那么我们预处理直接对块内排序，修改就类似插入排序的方式维护排序后的数组，块内信息暴力重构，那么预处理复杂度是 $O(n\log n)$ ，修改一次复杂度是 $O(B)$ 。

  询问对于一个块我们还需要找到 $x$ 的位置，复杂度一次是 $O(B+\frac{n}{B}\log B)$ 。

  不难得出 $B=\sqrt{n\log n}$ 最优，总复杂度 $O(n\log n+m\sqrt{n\log n})$ 。

  然而这大概率不能通过这道题，我们继续优化。

  注意到瓶颈在于找到 $x$ 在一个块内的位置，这是一个前缀和问题，我们有 $O(\sqrt n)-O(1)$ 的值域分块，而空间限制导致我们不能对每个块开一个前缀和数组，那么容易想到离线，逐块处理，每次利用 $O(\sqrt n)-O(1)$ 的值域分块做到 $O(1)$ 查询位置。

  我们来分析复杂度。

  预处理不变： $O(n\log n)$ 。

  多了新操作每个块的处理： $O(\frac{n^2}{B})$ 。

  修改要增加一个值域分块： $O(m(B+\sqrt n))$ 。

  查询把 $\log B$ 去掉： $O(m(B+\frac{n}{B}))$ 。

  那么 $B=\sqrt n$ 最优，总复杂度 $O((n+m)\sqrt n)$ 。