[2020-2021集训队作业]带加强和多项木

• 题目链接

  loj#3398

• 题目大意

  求有多少叶子数为 $n$ 的树满足所有非叶节点的儿子数 $x\in S$ 。

  $T$ 组询问，$S$ 预先给定，答案对 $M$ 取模。

  $1\le n\le 10^{18},2\le max\{s|s\in S\},M\le 50,1\le T\le 100,1\notin S$

• 前言

  $\Huge{\text{stO EI Orz}}$

• 题解

  显然考虑生成函数，设答案的生成函数为 $F(x)$ ，那么：

  $$F(x)=x+\sum_{i\in S}F(x)^i\\ F(x)-\sum_{i\in S}F(x)^i=x$$

  显然想到拉格朗日反演，构造函数 $G(x)=x-\sum_{i\in S}x^i$ ，那么有：

  $$[x^n]F(x)=\frac{1}{n}[x^{n-1}]\left(\frac{x}{G(x)}\right)^n$$

  这并不能做，因为不保证 $n$ 在模 $M$ 意义下有逆。

  然后考虑 $\text{EI}$ 在今年 $\text{WC2021}$ 提出的另类拉格朗日反演，有：

  $$[x^n]F(x)=[x^{n-1}]G'(x)\left(\frac{x}{G(x)}\right)^{n+1}$$

  这样我们就成功规避了除法，现在问题转化为求一个多项式的高阶幂的问题。

  接下来我们仅考虑模数是质数或质数次幂的情况，因为更一般的情况可以直接 $CRT$ 求得。

  设该质数为 $p$ 。

  先考虑模 $p$ 。

  根据历年的一些经典题目，我们可以得到多项式高阶幂模质数的一个重要性质：

  $$F(x)^p\equiv F(x^p)\pmod p$$

  证明即考虑多项式系数 $\binom{p}{a_1,\dots,a_m}$ ，其模 $p$ 不为 $0$ 当且仅当 $a_1=p$ ，此时值为 $1$ ，证毕。

  那么我们可以考虑设计一个算法，每次将规模 $/p$ ，就可以解决这个问题。

  具体而言，考虑计算 $[x^m]A(x)B(x)^n$，令 $m=pm_1+r_m,n=pn_1+r_n$，然后我们进行一些推导：

  $$\begin{aligned} &[x^m]A(x)B(x)^n\\ \equiv&[x^{pm_1+r_m}]A(x)B(x)^{pn_1+r_n}\\ \equiv&[x^{pm_1+r_m}](A(x)B(x)^{r_n})B(x)^{pn_1}\pmod p \end{aligned}$$

  令 $A(x)B(x)^{r_n}=\sum_{r=0}^{p-1}x^rC_r(x^p)$ ，那么：

  $$\begin{aligned} &[x^{pm_1+r_m}](A(x)B(x)^{r_n})B(x)^{pn_1}\\ \equiv&[x^{pm_1+r_m}]x^{r_m}C_{r_m}(x^p)B(x)^{pn_1}\\ \equiv&[x^{pm_1}]C_{r_m}(x^p)B(x^p)^{n_1}\\ \equiv&[x^{m_1}]C_{r_m}(x)B(x)^{n_1}\pmod p \end{aligned}$$

  这样我们就可以递归了，预处理出所有 $B^r$ ，令 $A,B$ 的项数为 $k$，那么复杂度是 $\mathcal O((kp)^2+Tk^2\log_p n)$ 。

  接下来考虑模 $p^u$ 。

  根据上方的讨论，我们自然希望多项式高阶幂模 $p^u$ 也有类似性质。

  事实上对 $p^u\ (u\in \Z^+)$ ，我们都有：

  $$F(x)^{p^u}\equiv F(x^p)^{p^{u-1}}\pmod {p^u}$$

  考虑归纳证明，$u=1$ 由上可知成立，对于 $u> 1$ ，设 $F(x)^{p^u}=F(x^p)^{p^{u-1}}+p^uG(x)$ ，那么：

  $$\begin{aligned} F(x)^{p^{u+1}}=&(F(x^p)^{p^{u-1}}+p^uG(x))^p\\ =&\sum_{i=0}^p\binom{p}{i}F(x^p)^{ip^{u-1}}p^{(p-i)u}G(x)^{p-i}\\ \equiv&F(x^p)^{p^u}\pmod {p^{u+1}} \end{aligned}$$

  最后一步转化与上面类似，那么即得原命题成立。

  这样我们令 $A_0(x)=A(x)B(x)^{n\bmod p^{u-1}},B_0(x)=B(x)^{p^{u-1}},n'=[n/p^{u-1}]$ ，就可以直接套用原来的方法计算了，复杂度 $\mathcal O((p^uk)^2+T(p^{u-1}k)^2\log_p n)$ 。