Lambek-Moser定理

　　该定理由J·拉姆贝克(Lambek)与L·莫斯尔(Leo Moser)提出

我们将满足
　　$(i)${$a_n$}$\cup${$b_n$}$= N^+$
　　$(ii)${$a_n$}$\cap${$b_n$}$= \varnothing$
的两数列{$a_n$}和{$b_n$}称为互补数列

对于互补数列，有如下的：
　　Lambek—Moser定理　设$f(n)$是一个$N^+\to N^+$的不减函数.定义$f^*(n)=$|{$k|f(k)<n$}|,其中|$Z$|表示集合$Z$中元素的个数.记$F(N^+)$和$G(N^+)$分别为函数$F(n)=f(n)+n$和$G(n)=f^*(n)+n$的值域.则$F(N^+)$与$G(N^+)$是互补的.

证明:
(现在还不会... 以后再填坑）

例$1$:
　　求证：在正整数序列中，删去所有完全平方数后，第$n$项等于$n+[\sqrt{n}+\frac{1}{2}]$.其中$[x]$表示不超过$x$的最大整数.(第$27$届普特南数学竞赛）

（我不清楚标准答案是什么，但我自己瞎搞搞出来一个...）

证明：
　　令$F(n)=n+[\sqrt{n}+\frac{1}{2}]$
　　　$G(n)=n^2=n+n(n-1)$
　　则根据原命题，知:
　　　　$F(n)$的值域$F(N^+)$与$G(n)$的值域$G(N^+)$互补.
　　考虑构造函数:
　　　　$f(n)=[\sqrt{n}+\frac{1}{2}]$
　　　　$g(n)=n(n-1)$
　　由Lambek-Moser定理,
　　原命题等价于求证:
　　　　$g(n)=n(n-1)=$|{$k|f(k)<n$}|
　　考虑$\max k$使得$f(k)<n$
　　则$[\sqrt{k}+\frac{1}{2}]<n$
　　　$\sqrt{k}<n-\frac{1}{2}$
　　　$k<n^2-n+\frac{1}{4}$
　　由$k \in N^+$
　　得$k\leq n^2-n$
　　所以|{$k|f(k)<n$}|=$n(n-1)$
证毕.

例$2$:
　　删去正整数数列$1,2,3,···$中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第$2003$项是（　）
　　(A) $2046$ (B) $2047$ (C) $2048$ (D) $2049$
　　（$2003$，全国高中数学联赛）
解：
　$(I)$ 直接运用例$1$证明出的公式 令$n=2003$,便得到
　　　$2003+[\sqrt{2003}+\frac{1}{2}]=2048$

　$(II)$ 直接暴力，由$45^2=2025$,$46^2=2116$,得
　　　 第$1981$项为$2026$,第$2069$项为$2115$
　　　 所以第$2003$项为$2048$

（第一篇博客，就写写数学吧...）