GCD HDU - 1695 莫比乌斯反演入门

题目链接：https://cn.vjudge.net/problem/HDU-1695#author=541607120101

感觉讲的很好的一个博客：https://www.cnblogs.com/peng-ym/p/8647856.html

今天刚开始学莫比乌斯反演，先据我所了解的说一下。

首先是莫比乌斯函数。

1，mu(x).当x为1时，mu（1）等于1。

2，当x为素数时，mu（x）=-1。

3，当x能唯一分解成多个不同的素数相乘的时候（不能有重复的素数）mu（x）=（-1）的k次方，k代表的是素数的个数。

4，当x不能被唯一的分解成多个素数相乘的时候，也就是他的因子中存在重复的素数，这个时候，mu（x）=0.

然后是一个等式 (d是n的因子).

然后就是两个等式(等我学会证明就回来补~)

 

然后对于当前这个题,选择(1,b),(1,d) 中满足gcd(x,y)==k的对数,(1<=x<=b),(1<=y<=d) .

也就是说 gcd(x/k,y.k)==1满足的对数.

然后再开始分析一波:

我们令f(k)为满足(a,b),(c,d)中的gcd为k的对数.然后F(k)就是满足(a,b),(c,d)中的gcd为k的倍数的对数.

F(k)就等于(b/k)*(d/k).

所以说,这个题就转换为了求满足的总和

 

但是要注意去重.我们一开始定义的是ans=f(1)( (1<=x<=b) &&(1<=y<=c) )中的解,但是很明显,(1.c)包含(1,b),所以这一块会有重复的计算( (1<=x<=b)&&(1<=x<=b) ),并且(t1,t2)和(t2,t1)在(1,b)这块区域,是应当被看做一组的,所以最终结果应该是

ans=f ( (1,b) , (1,c) )-f ( (1,b) , (1,b) ) / 2.

AC代码:

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<stdio.h>
using namespace std;
# define ll long long
# define inf 0x3f3f3f3f
const int maxn =100000+100;
# define ll long long
ll mu[maxn];
ll vis[maxn];
ll prim[maxn];
void Get_mu(ll n)
{
    mu[1]=1;
    int cnt=0;
    for(ll i=2; i<n; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prim[cnt++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(ll j=0; j<cnt; j++)
        {
            ll k=i*prim[j];
            if(k>n)break;
            vis[k]=1;
            if(i%prim[j])
            {
                mu[k]=-mu[i];
            }
            else
            {
                mu[k]=0;
                break;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    Get_mu(maxn);
    ll t;
    ll Case=0;
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        ll a,b,c,d,k;
        scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&a,&b,&c,&d,&k);
        if(k==0)
        {
            printf("Case %lld: 0\n",++Case);
            continue;
        }
        b/=k;
        d/=k;
        ll ans=0,res=0;
        ll minn=min(b,d);
        for(ll i=1; i<=minn; i++)
        {
            ans+=mu[i]*(b/i)*(d/i);
            res+=mu[i]*(minn/i)*(minn/i);
        }
        //  cout<<ans<<" "<<res<<endl;
        printf("Case %lld: %lld\n",++Case,ans-res/2);
    }
    return 0;
}