「乱写」容斥

容斥原理

对于\(M\subseteq S\)，有：

\[|\bigcup\limits_{i=1}^{n}|S_i=\sum\limits_{C\subseteq M}^{n}(-1)^{size(C)-1}|\bigcap\limits_{T\subseteq C}T| \]

反演原理

1. 子集反演

\[g(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}f(T) \]

\[f(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}g(T) \]

2. 二项式反演

至多形式：

\[g_{m}=\sum\limits_{i=0}^{m}\dbinom{m}{i}f_{i} \]

\[f_{m}=\sum\limits_{i=0}^{m}(-1)^{m-i}\dbinom{m}{i}g_{i} \]

至少形式：

\[g_m=\sum\limits_{i=m}^{n}\dbinom{n}{i}f_i \]

\[f_{m}=\sum\limits_{i=m}^{n}(-1)^{i-m}\dbinom{i}{m}g_i \]

3. 莫比乌斯反演

\[F(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\Leftrightarrow f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)F(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \]

\[F(n)=\sum\limits_{n|d}f(d)\Leftrightarrow f(n)=\sum\limits_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F( d ) \]

莫比乌斯函数：

\[\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n=1] \]

\[\sum\limits_{i=0}{n}\binom{n}{i}(-1)^i=(1-1)^n=[n=1] \]

4. 最值反演(min-max容斥)

\[Max(S)=\sum\limits_{\varnothing\not=T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}Min(T) \]

\[E(Max(S))=\sum\limits_{\varnothing\not=T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}E(Min(T)) \]

5. 斯特林反演

• 第一类斯特林数

记：

\[\begin{bmatrix}n\\k \end{bmatrix} \]

表示\(n\)个集合划分成\(k\)个集合，每个集合内圆排列的方案数。

性质1：

\[\sum\limits_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}=n! \]

性质2：

\[x^{\underline{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i \]

性质3：

\[x^{\overline{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i \]

• 第二类斯特林数

记：

\[\begin{Bmatrix}n\\k \end{Bmatrix} \]

表示\(n\)个集合划分成\(k\)个集合的方案数。

递推式：

\[\begin{Bmatrix}n\\k \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\k-1 \end{Bmatrix}+k\begin{Bmatrix}n-1\\k \end{Bmatrix} \]

性质1：

\[k^n=\sum\limits_{i=0}^{k}\begin{Bmatrix}n\\i \end{Bmatrix}i!\binom{k}{i}=\sum\limits_{i=0}^{k}\begin{Bmatrix}n\\i \end{Bmatrix}k^{\underline{i}} \]

性质2：

\[\begin{Bmatrix}n\\k \end{Bmatrix}=\frac{1}{k!}\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^i\binom{k}{i}(k-i)^n \]

求第二类斯特林数:

利用性质2。

展开:

\[\begin{aligned}\begin{Bmatrix}n\\k \end{Bmatrix}&=\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^i\frac{1}{k!}\frac{k!}{i!(k-i)!}(k-i)^n \\ &=\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^i\frac{1}{i!}\frac{(k-i)^n}{(k-i)!}\end{aligned} \]

• 斯特林反演

\[f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i \end{bmatrix}(-1)^{n-i}f(i) \]

反转公式：

\[\displaystyle \sum_{i=m}^n (-1)^{n-i}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix} \begin{Bmatrix}i\\m\end{Bmatrix}=[m=n] \]

\[\sum_{i=m}^n (-1)^{n-i}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix} \begin{bmatrix}i\\m\end{bmatrix}=[m=n] \]

6. 单位根反演

\[\begin{bmatrix}k|n\end{bmatrix} =\frac{1}{k}\sum\limits_{i=0}^{k-1}w_{k}^{in} \]