组合计数

1.卡特兰数

\[C_{n}=\dfrac{\dbinom{2n}{n}}{n+1} \]

2.lucas

设\(n=kp+a\),\(m=lp+b\)

\[\dbinom{n}{m}\equiv\dbinom{k}{l}\dbinom{a}{b}(\bmod p) \]

3.二项式定理

\[(1+x)^{n}=\sum\limits_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}x^{i} \]

4.二项式反演

对于\(f,g\)序列,若满足

\[g_{m}=\sum\limits_{i=0}^{m}\dbinom{m}{i}f_{i} \]

则：

\[f_{m}=\sum\limits_{i=0}^{m}(-1)^{m-i}\dbinom{m}{i}g_{i} \]

证明 (引用lnc学长的原话吧，毕竟wtcl：

若满足

\[g_m=\sum\limits_{i=m}^{n}\dbinom{n}{i}f_i \]

则：

\[f_{m}=\sum\limits_{i=m}^{n}(-1)^{i-m}\dbinom{i}{m}g_i \]

5.范德蒙恒等式

\[\dbinom{n+m}{K}=\sum\limits_{i=0}^{K}\dbinom{m}{i}\dbinom{n}{K-i} \]