集合论学习笔记
集合及其运算
集合的概念
集合包括有穷集合、无穷集合和空集。
子集、集合的相等
集合的运算
并运算
交运算
分配律
抽象
差运算
对称差
对称差与异或
对称差定义
对称差的运算律
例题：
【例1】
补集、De Morgan公式
De Morgan公式
对偶原理
按照这个原则替换后的集合表达式，仍然成立。
运算的总结
\(\cup \cap \setminus ^C\)
假设研究对象是集合S，那么
-
他们是在集合S的幂集\(2^S\)上的运算。
-
这些运算是封闭的（运算对象在\(2^S\)中，运算结果也在\(2^S\)中）。
幂集运算
幂集运算是不封闭的。
下面所描述的笛卡尔积也是不封闭的。
笛卡尔积/直积
笛卡尔
哲学上：《方法导论》
数学上：笛卡尔坐标系（平面直角坐标系）。数形结合，将几何形状公式化。
有序对与笛卡尔积
序偶/有序对：
【定义1】抽象集合上的笛卡尔积定义
定义：
运算规律与n元组
不满足结合律与分配律
不满足结合律，分配律。
那么，\(A\times B\times C\)没有意义（不能这样表示）。
由于在这种情况下\(A\times B\times C\)没有意义，为了对多个集合作笛卡尔积运算，需要引入n元组的概念。
n元组与扩展的（n个集合的）笛卡尔积
n元组：
扩展的笛卡尔积：
部分条件下满足分配律
笛卡尔乘积在\(2^S\)上不封闭，也即产生了新的结构。
例子：冒领养老金
多种不同的数据库（如公安数据、社保数据和医院数据等等），各数据库（笛卡尔乘积有意义的子集）之间可能存在不一致性。
进行笛卡尔乘积运算并进行限定，得到的新数据库（集合）R。
但是，笛卡尔乘积是一个复杂的运算。
抽象训练
数据库模型
E-R图：（以学生和课程为例）
关系数据库：（所有的联系均可用二维关系表表示）E.F.Codd
上述笛卡尔积的一个子集就是关系。
具体的关系只需要给这个子集赋值即可。
自然语言的模型
语言的生成与识别：（Chomsky的文法（产生）与Kleene的自动机（识别））
文法与自动机事实上是等价的。
语言的分类：
0型：短语结构语言（PSG）、图灵机
1型：上下文有关语言（CSG）、线性界限自动机
2型：上下文无关语言（CFG）、下推自动机
3型：正则语言、自动机（RG）
映射与一一对应
映射概念
注意：映射是一个单值联系（体现在其唯一性上）。
映射的三种分类
单射
满射
双射（一一对应）
注意：如果两个集合之间具有一一对应的关系，那么可以将这两个集合视为一类。
可以用一一对应来定义等价关系。
有穷集合的基数
【定义】
计数法则
简单法则
当\(A\cap B=\varnothing\)时：
包括加法法则、乘法法则、
减法法则（可用补运算转化为加法运算）。
当不满足\(A\cap B=\varnothing\)时呢？
容斥原理（逐步淘汰原理）
映射
映射的概念
鸽巢原理
定理
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。
抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。
在上述定理中，原理的对象是可重复的（物体），当然，对于不可重复的物体（集合元素）也是满足的。
例题
对【例2】的解释：\(a_i=2^{s_i}d_i\)，\(s_i\)取0或1，\(d_i\)取1-n间的任一个数字即可。当然，下面的理解也是正确的。
对【例3】的解释：
根据平均性原理，认识a的和不认识a的应该分别分为2、3。（至少有一个集合中，元素个数为3）
-
若\(|A|=3\)，那么，可以进一步将其分为
- 有两个人互相认识。由于他们同时与a认识，即三个人互相认识。那么问题得证。
- 所有人均不互相认识（对于任意的两个人，他们均不互相认识）。那么，问题亦得证。
-
若\(|B|=3\)，那么，可进一步将其分为
- 有两个人互相不认识。由于他们与a也互相不认识，那么，问题得证。
- 所有人均互相认识。问题亦得证。
事实上，如果\(|A|=4\)、\(|A|=5\)，也可以类似地进行证明。
总之，问题得证。
映射的一般性质
映射的合成
逆映射
定义
存在性
唯一性
左右可逆
引子
置换
定义
置换的乘积
循环置换
置换的分解
运算
二元运算
运算律
代数系
特征函数
引子
菜谱点菜
定义
【定义1】
集合在计算机中的表示
要求：可方便地放入计算机，且对其处理要有效率。
例子：
点菜问题的计算机表示，对其的处理为简单的按位操作。
特征函数与集合子集
【定理1】
【证明】
构造映射：
证明其为单射，还为满射：
关系
关系的概念
n元关系
二元关系的注意事项
恒等关系、自反关系、反自反的二元关系
恒等关系：
自反关系：集合中每一个元素都成立，比如\(\le\)是自反关系，而\(<\)不是自反关系。
自反：R的恒等关系在R中。
反自反关系：集合中每一个元素都不成立，比如\(<\)。
对称关系、反对称关系
对称：R的逆包含在R中。
对称关系：例如，朋友，家人
反对称关系：例如，\(x\le y\)，\(y\le x\)，则\(x=y\)显然成立；那么，\(\le\)即为反对称关系。
传递关系
传递：R的平方包含在R中。
关系的逆
关系的运算
关系的集合运算
关系的合成运算
定义
性质
结合律：
分配律：
关系的幂运算
关系的闭包
笛卡尔积的优良性质（自反，对称，传递）在R上不一定具有。
添加最少数量的序偶，使其具有相应的优良性质的一种方法称之为闭包。
传递闭包
证明中最后一句（结论）之前应加上，由\(R^+\)的任意性。
使逻辑严谨，而不存在跳跃。
由抽屉原理，做了m次合成，但是元素只有n个。所以y中必然有相等量（集合元素是唯一的，即互异性），假设\(y_i=y_j\)，可以得到圈起来的部分可以省略。
如果\(m-(j-i)\ge n\)，重复上述过程，必然得到\(p=m'-(j'-i')<n\)，证毕。
小于关系的由来，先定义关系\(i\prec j\equiv j=i+1\)，而小于关系就是\(\prec\)的传递闭包，即\(\prec^+=<\)。
本质上说，小于关系是由加法运算定义出来的。先有运算（+），再有关系（\(\prec\)），关系上再做传递闭包（甚至是自反传递闭包）可以得到更复杂的关系，最后有代数系统的结构（例如，\(N=\{1,2,\cdots\}\)是序结构）。
自反传递闭包
也可以表述为：包含R的所有自反传递关系的交。
【例】文法
文法的简单例子，\(L=\{0^n1^n|n\ge 1\}\subseteq T^*\)，也就是n个0之后紧跟n个1。
\(G=(V,T,P,S)\)，G是文法，V是非结束字符，T是结束字符，P是规则，S是开始符。
那么，对于这样一个文法，让其动起来的方法是定义其关系：\(R\subseteq (V\cup T)^*\times (V\cup T)^*\)。
先有一个开始符号S，S按照P里的规则转换：\(S\rightarrow 0S1\)，\(S\rightarrow 01\)。
那么，仅有文法的情况下（没有给出\(L=\{0^n1^n|n\ge 1\}\subseteq T^*\)），怎么描述呢？
关系矩阵
关系运算的布尔矩阵
关系图
等价关系
等价关系
等价关系可以用来对事物进行分类，分类后可以用其中一个来代表。
划分：
在数学中，集合 X 的划分是把 X 分割到覆盖了 X 的全部元素的不交叠的“部分”或“块”或“单元”中。
