电子科技大学研究生试卷
课程名称 图论及其应用
教师 学时 60 学分 3
教学方式 堂上授课
考核日期 2017年_6月11日
一.填空题(每空5分,共25分)
1.图1中顶点a到顶点b的距离d(a,b)=________________________(11)
2.已知图G的邻接矩阵
,则G中长度为2的途径总条数为____________。(30)
3.图2中最小生成树T的权值W(T)=________________。(34)
4.图3的最优欧拉环游的权值为_____________.(38)
5.树叶带权分别为1,2,4,5,6,8的最优二元树权值为w(T)=______________________。(62)
二.单项选择(每题3分,共15分)
1,关于图的度序列,下列说法正确的是().(C)
(A)对任意一个非负整数序列来说,它都是某图的度序列;
(B)如果非负整数序列\(\pi=(d_1,d_2,...,d_n)\)满足为偶数,则它一定是图序列;
(C)若图G度弱于图H,则图G的边数小于等于图H的边数;
(D).如果图G的顶点总度数大于或等于图H的顶点总度数,则图G度优于图H。
2,关于图的割点与割边,下列说法正确的是().D
(A)有割边的图一定有割点;
(B)有割点的图一定有割边;
(C)有割边的简单图一定有割点;
(D)割边不在图的任一圈中。
3设\(k(G),\lambda(G),\delta(G)\)分别表示图G的点连通度,边连通度和最小度。下面说法错误的是()D
(A)存在图G,使得\(k(G)=\lambda(G)=\delta(G)\)
(B)存在图G,使得\(k(G)<\lambda(G)<\delta(G)\)
(C)设G是n阶简单图,若
,则G连通,且\(\lambda(G)=\delta(G)\).
(D)图G是k连通的,则G的连通度为k。
4.关于哈密尔顿图,下列命题错误的是( )B
(A) 彼得森图是非哈密尔顿图;
(B) 若图G的闭包是哈密尔顿图,则其闭包一定是完全图;
(C) 若图G的闭包是完全图,则图G是哈密尔顿图;
(D) 设G是三阶以上简单图,若G中任意两个不邻接点u与v,满足,则G是哈密尔顿图。
5.下列说法错误的是( )A
(A) 有完美匹配的三正则图一定没有割边;
(B) 没有割边的三正则图一定存在完美匹配;
(C) 任意一个具有哈密尔顿圈的三正则图可以1因子分解;
(D) 完全图\(K_{2n+1}\)是n个哈密尔顿圈的和。
三、 (10分) 设无向图G有10条边,3度与4度顶点各2个,其余顶点的度数均小于3,问G中至少有几个顶点?在最少顶点数的情况下,写出G的度序列,该度序列是一个图序列吗?。
解:要使得G中顶点数最少,度数小于3的顶点度数必须取2.
设度数为2的顶点个数为\(x\),由握手定理:
\(3\times2+4\times2+2x=20\),解得:\(x=3\)
所以,G中至少顶点个数为7.
G的度序列\(\pi=(4,4,3,3,2,2,2)\)
由于\(\pi_1=(3,2,2,2,2,1),\pi_2=(2,1,1,1,1)\)
所以,度序列为图序列。
四、 (6分) 求完全图\(K_n\)的邻接谱。
解:完全图\(K_n\)的邻接矩阵为
五,(6分) 求证:一棵非平凡树至少有两片树叶。
证明 设P=v1v2…vk是非平凡树T中一条最长路,则v1与vk在T中的邻接点只能有一个,否则,要么推出P不是最长路,要么推出T中存在圈,这都是矛盾!即说明v1与v2是树叶。
六,(6分) 求证对于
的图
是非哈密尔顿图。
证明:取S=V(km),则ω(G-S)=m+1>|S|=m,所以,由H图的性质知,G是非H图。
七.(6分)求证:设\(l\)是赋权完全偶图G的可行顶点标号,如果其相等子图存\(G_l\)在完美匹配\(M^*\),则\(M^*\)是G的最优匹配。
证明:设M*是\(G_l\)的完美匹配,则:
又设M是G的任一完美匹配,则
所以,w (M*)≥w (M)。即M*是G的最优匹配。
八.(6分) 设简单可平面图G有10个4度顶点和8个5度顶点,其余顶点度数均为7。求7度顶点的最大可能数量。
解:设7度顶点有\(x\)个。
一方面,由握手定理:\(4\times10+5\times8+7x=2m\)
即:\(m=40+3.5x\)
另一方面:由于图G是可平面简单图,因此:\(m\leq3n-6=3(10+8+x)-6=48+3x\)
解得:\(x\leq16\)
即7度顶点的最大可能数量为16.
九.(10分)求下图G的色多项式\(p_k(G)\).并求出点色数。
解:做出\(\overline G\):
\(p_k(G)=(x+x^2)(2x^2+x^3)=x^5+2x^4+2x^3=k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)+2k(k-1)(k-2)(k-3)+2k(k-1)(k-2)\)
\(p_1(G)=0,p_2(G)=0,p_3(G)=12\)
所以点色数为3
十.(10分) 一家公司计划建造一个动物园,他们打算饲养下面这些动物:狒狒(b)、狐狸(f)、山羊(g)、土狼(h)、非洲大羚羊(k)、狮子(l)、豪猪(p)、兔子(r)、鼩鼱(s)、羚羊(w)和斑马(z)。根据经验,动物的饮食习惯为:狒狒喜欢吃山羊、非洲大羚羊、兔子和鼩鼱;狐狸喜欢吃山羊、豪猪、兔子和鼩鼱;土狼喜欢吃山羊、非洲大羚羊、羚羊和斑马;狮子喜欢吃山羊、非洲大羚羊、羚羊和斑马;豪猪喜欢吃鼩鼱和兔子;而其余的则喜欢吃虫子、蚯蚓、草或其它植物。公司将饲养这些动物,希望它们能自由活动但不能相互捕食。求这些动物的一个分组,使得需要的围栏数最少。(要求用图论方法求解)
解:每个动物作为顶点,如果动物x要吃y,则该两点连线。
问题转化为:(1)在模型图中求出其点色数\(\chi(G)\);(2)用\(\chi(G)\)种颜色对图G进行正常顶点作色。则色组即为动物分组。
由于在模型图中存在三角形fsp,所以\(\chi(G)\geq3\),另一方面,用三种颜色可实现对图G的正常点作色,得到\(\chi(G)\leq3\)。所以,点色数\(\chi(G)=3\)。
给出的围栏分组为:\(\{b,f,l\};\{g,k,r,s,w,z\};\{h,p\}\)