[动规] hihocoder 1149 回文字符序列

题目大意

原题链接，给定字符串求回文子序列数量。字符串长度 $len \leq 1000 $。

算法思路

题干比较简单，而且数据量不大，很容易想到使用递推，关键在于如何定义递推中间值和递推式。博主做题的时候首先想到定义数组 \(r[][]\), $r[i][j], i\leq j $ 表示以字符 \(str[j]\) 结尾，在区间 \([i,j]\) 中的回文子序列数量，就可以得到递推式 $ r[i][j] = 1 + r[i][j-1] + \sum_{k=i, str[k]=str[i]}^{j-1} {(1+r[k+1][j-1])} $. 递推的代码很好写，提交之后发现超时，仔细分析，复杂度为 \(O(n^3)\)，无奈重新想递推关系。

吃过午饭，突然灵机一动，定义数组 \(r[i][j]\) 表示字符串区间 \([i,j]\) 内的回文子序列数量，

\[ \begin{equation} r[i][j] = \begin{cases} 0 & \mbox{if $ i > j $ }\\ 1 & \mbox{elif $ i = j $ }\\ r[i][j-1] + r[i+1][j] + 1 & \mbox{elif $ str[i] = str[j] $ }\\ r[i][j-1] + r[i+1][j] - r[i+1][j-1] & \mbox{if $ str[i] \neq str[j] $ } \end{cases} \end{equation} \]

大家注意 $r[i][j-1], r[i+1][j] $ 重复计算了区间 \([i+1,j-1]\)的回文子序列，应该减去，而\(str[i]=str[j]\) 情形时的1表示回文序列就是 \(str[i],str[j]\).这样复杂度就是 \(O(n^2)\) 啦，不会超时。

然而提交的时候出现了WA，百思不得其解，在我开始怀疑人生的时候突然想到，题目中要求对结果取模，因此可能在做减法的时候出现负数！

代码

#include <iostream>
#include <string>
#include <string.h>
using namespace std;

const int md = 100007;

string str;
int r[1004][1004]; // r[i][j] (i<=j) str([i,j]) str[j] 

int dp(int a, int b)
{
	if (r[a][b] != -1)
		return r[a][b];

	if (a > b)
		r[a][b] = 0;
	else if (a == b)
		r[a][b] = 1;
	else {
		if (str[a] == str[b]) {
			r[a][b] = dp(a, b - 1) + dp(a + 1, b) + 1;
		}
		else {
			r[a][b] = dp(a, b - 1) + dp(a + 1, b) - dp(a+1, b-1);
		}
	}

	r[a][b] = (r[a][b] + 2 * md) % md;           // 防止负数!
	return r[a][b];
}

int main()
{
	int t;
	cin >> t;
	getline(cin, str);
	for(int q=1;q<=t;q++) {
		memset(r, 0xff, sizeof(int)*1004*1004);
		getline(cin, str);
		int len = str.length();
		cout << "Case #" << q << ": " << dp(0, len - 1) << endl;
	}
	return 0;
}