【整数划分系列】

1.nyoj90

描述

将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk， 
其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。 
正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不 
同划分个数。 
例如正整数6有如下11种不同的划分： 
6； 
5+1； 
4+2，4+1+1； 
3+3，3+2+1，3+1+1+1； 
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 
1+1+1+1+1+1。 

 

输入

第一行是测试数据的数目M（1<=M<=10）。以下每行均包含一个整数n（1<=n<=10）。

输出

输出每组测试数据有多少种分法。

样例输入

1
6

样例输出

　　11

【思路】

dp[i][j]代表整数i划分的所有数中最大数不超过j的划分数。

#include<bits/stdc++.h>  
using namespace std;  
int dp[15][15];  
int main()  
{  
    int n,m,i,j,t;  
    dp[1][1]=1;  
    for(i=1; i<=10; i++)  
        for(j=1; j<=10; j++)  
        {  
            if(j==1) dp[i][j]=1;  
            else if(i>j) dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1];//含j和不含j  
            else if(i==j) dp[i][j]=1+dp[i][j-1];  
            else dp[i][j]=dp[i][i];  
        }  
    cin>>t;  
    while(t--)  
    {  
        scanf("%d",&n);  
        printf("%d\n",dp[n][n]);  
    }  
    return 0;  
}  

因为n很小不超过10，可以用递归写，最多算10！也不会TLE，下面是dfs：

#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<algorithm>  
#include<cmath>  
#include<cstring>  
#include<vector>  
using namespace std;  
typedef long long LL;  
int n,ans;  
void dfs(int i,int s)  
{  
    if(s>n) return;  
    if(s==n)  
    {  
        ans++;  
        return;  
    }  
    for(i; i<=10; i++)//保证每次加的数大于等于原来的  
    {  
        dfs(i,s+i);  
    }  
}  
int main()  
{  
    int m;  
    cin>>m;  
    while(m--)  
    {  
        ans=0;  
        cin>>n;  
        dfs(1,0);  
        cout<<ans<<endl;  
    }  
}  

2.nyoj176

n划分成m个整数的和

dp[i][j]代表i划分成j个数

 

#include<bits/stdc++.h>  
using namespace std;  
int dp[105][108];  
int main()  
{  
    int n,m,i,j,t;  
    dp[1][1]=1;  
    for(i=2; i<=100; i++)  
        for(j=1; j<=i; j++)  
        {  
            if(i==j||j==1) dp[i][j]=1;  
            else dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j];//含1和不含1  
        }  
    cin>>t;  
    while(t--)  
    {  
        scanf("%d%d",&n,&m);  
        printf("%d\n",dp[n][m]);  
    }  
    return 0;  
}

 

3.nyoj279：队花的烦恼

描述

ACM队队花C小+最近在X大OJ上做题，竟发现了一道做不出来的…水题！她快郁闷死了……也许是最近状态不太好吧……她希望大家能帮帮忙：把一个整数分成若干个不为零的整数，问有多少种不同分法。

例：7 3 其中的分法：1 1 5，1 5 1，5 1 1是同一种分法。

 

输入

有多组测试数据
每组数据都有两个整数n,m（6<=n<=500,2<=m<=6）
n表示该整数，m表示把n分成m份

输出

对每一组测试数据，输出不同的分法数

样例输入

7 3
10 2
20 3

样例输出

4
5
33

注意m<=6即可

#include<bits/stdc++.h>  
using namespace std;  
int dp[505][8];  
int main()  
{  
    int n,m,i,j;  
    dp[1][1]=1;  
    for(i=2; i<=500; i++)  
        for(j=1; j<=i&&j<=6; j++)  
        {  
            if(i==j||j==1) dp[i][j]=1;  
            else dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j];  
        }  
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))  
    {  
        printf("%d\n",dp[n][m]);  
    }  
    return 0;  
}

4.51nod1201整数划分

将N（N<=50000）分为若干个不同整数的和，有多少种不同的划分方式，例如：n = 6，{6} {1,5} {2,4} {1,2,3}，共4种。由于数据较大，输出Mod 10^9 + 7的结果即可。

开始想的dp[i][j]代表j的最大划分数不超过i，但是数组需要开很大。
换个思路就是dp[i][j]代表j划分成i个整数的方法数，也分有1还是没有1，跟上面第2题有点类似，但是还要求划分成不同的整数，所以方程为dp[i][j] = dp[i][j-i](无1) + dp[i-1][j-i](有1且仅有1个1)
认真思考会发现i不会超过320，利用等差数列求和求出

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 50000;
const int mod = 1e9+7;
typedef long long LL;
LL dp[322][N+4];
int main()
{
    int n;
    for(int j = 1; j <= N; j++) dp[1][j] = 1;
    for(int i = 2; i <= 320; i++)
        for(int j = 1; j <= N; j++)
        {
            if(i >= j) continue;
            else dp[i][j] = (dp[i][j-i] + dp[i-1][j-i])%mod;
        }
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        int sum = 0, ans = 0;
        for(int i = 1; i <= 320; i++)
        {
            ans = (ans + dp[i][n]) % mod;
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}